花了不到一週的時間，解出了一個幾十年無人能解的數學難題，隨後憑藉這項研究和其他工作，在獲得博士學位短短14個月後，就獲得了MIT助理教授的職位。

這個故事真實地發生在一位年輕數學家Lisa Piccirillo的身上。它乍聽之下充滿了“天才”、“機遇”等令人羨慕的元素，但這當然只是表象。

Piccirillo喜歡扭結理論（knot theory）在視覺上的直觀性，但她並不認爲自己最主要的身份是紐結理論學家。Piccirillo最感興趣的是三維和四維流形，但這些研究與扭結理論有着深刻的聯繫，她因此也對扭結進行了一些研究。

她的證明發表在今年二月的《數學年刊》上，這是世界最頂級的數學期刊之一。論文的標題簡短而清晰“The Conway knot is not slice”（康威扭結不是切片），她成功證明了康威扭結不是光滑切片，並完善了少於13個交叉的切片扭結（slice knot）的分類。

在介紹何爲切片扭結之前，我們先來了解一下扭結的概念。我們日常生活中的所謂的“結”，通常是指一條繩子以特別的方式纏繞在一起，繩子的兩端不會相連，這些結也可以通過相應的方式解開。

但是在數學家眼中，扭結的“繩子”兩端是相連的。在過去的一個世紀裏，這些“打結的環”出現在各個領域，從量子物理到DNA結構，以及三維空間的拓撲學等，幫助解釋了許多的問題。

如果上升一個維度，在一個想象的空間中思考，事情也會有所不同。要在四維空間中創造一個“打結”的對象，你需要二維的球面，而不是一維的環。三維提供了足夠的空間來構建打結的環，四維也爲打結的球面提供了這樣的空間。

對我們來說，很難想象出“四維空間中打結的球面”的畫面，或許我們可以先考慮三維空間中一個普通的球。如果對這個三維空間中的普通球進行切片，你會看到一個沒有打結的環。但是當你對四維空間中的一個打結的球面進行切片時，你看到的就可能是一個打結的環，也可能是一個未打結的環，亦或者是連在一起的幾個環，具體取決於切片的位置。

所有通過對一個打結的球面進行切片而得到的扭結，就被稱爲切片扭結。並不是所有扭結都是切片，例如三葉結就不是切片。切片扭結在扭結理論的三維和四維間提供了一座橋。

○ 三葉結。| 圖片設計：雯雯；素材來源：Wikicommons

但是，四維還有更爲獨特之處。在四維拓撲中，切片的含義有兩種。數學家發現，四維空間不僅包含了我們直觀看到的光滑球面，還包含了無法鋪平的褶皺的球面。哪些扭結是切片的問題，取決於是否選擇包含這些褶皺的球面。

這些奇怪的球面是四維拓撲的一種特徵。那些是“拓撲切片”而不是“光滑切片”的扭結，意味着它們是某種褶皺球面的切片，但不是光滑球面的切片。這些扭結讓數學家構建出了四維空間的“奇異”版。而切片扭結也爲數學家探索四維空間的奇異本質提供了一種方法。

多年來，數學家發現了各種各樣的是“拓撲切片”而非“光滑切片”的扭結。對於幾乎所有帶有12個或更少交叉的扭結，數學家已經搞清楚了它們的切片屬性，除了一種扭結一直無法確認——康威扭結。

康威扭結是在半個多世紀前由著名數學家約翰·霍頓·康威（康威於今年4月病逝，有關他的更多故事詳見《》）發現的，這種扭結有11個交叉。

在上世紀80年代，數學家已經認識到康威扭結是拓撲切片，但他們無法確定它是否是光滑切片。數學家懷疑它不是，因爲這種扭結似乎缺少一種被稱爲“緞帶”（ribbonness）的特徵，而這種特徵通常是光滑切片的扭結所具有的。但這一點始終沒能得到證明。

康威扭結有一種“兄弟”一般的相近變體。如果你在紙上畫出康威扭結，剪下紙的一部分，翻轉過來，重新連接，會得到另一種扭結，被稱爲Kinoshita-Terasaka扭結。

○ 圖中左邊爲康威扭結，右邊爲Kinoshita-Terasaka扭結。| 圖片設計：雯雯；素材來源：參考資料[3]

問題是，Kinoshita-Terasaka扭結恰好是光滑切片。而由於康威扭結與光滑切片的扭結關係甚密，因此它成功“瞞過”了所有用於檢驗非切片扭結的工具。不變量（invariants）即是數學家所使用的探測工具，而康威扭結彷彿恰好處在了各種探測工具的盲區之中。這也使得康威扭結是不是切片的問題，成了許多現代扭結理論領域發展的試金石。

2018年夏天，Lisa Piccirillo參與了一場關於低維拓撲和幾何的學術會議。Shelly Harvey教授在其中一場演講裏提到了康威扭結問題。

這是Piccirillo第一次瞭解到這個有趣的數學問題。而這似乎是一個很好的試驗場，測試她在研究生期間開發的一些技術。

每個扭結都有一種相關的四維形狀，被稱爲它的軌跡（trace）。扭結的軌跡以一種非常強烈的方式“編碼”扭結。不同扭結可以有相同的四維軌跡。數學家已經知道這些軌跡相同的扭結總是有一樣的切片狀態，也就是說，要麼它們都是切片，要麼都不是。

Piccirillo想到了一種策略，如果她能創造一個和康威扭結軌跡相同的“兄弟”，就可以通過這個“兄弟”來證明康威扭結是否是切片。構建軌跡相同的扭結並不是一項簡單的工作，但Piccirillo卻很擅長。

通過巧妙的組合，Piccirillo成功地構建出了一個複雜的扭結，其軌跡與康威扭結相同。對於這種扭結，一種名爲Rasmussen s-不變量的檢測工具證明了這個扭結不是光滑切片，因此康威扭結也不是。而這個過程只花了她不到一週的時間。

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