各位朋友，大家好！今天是2020年5月12日星期二。数学世界将继续发布初中数学习题及解析，如果你是来到这里的新朋友，可以翻看数学世界以前发布的文章。笔者希望对广大学生的学习和备考有一些帮助，请朋友们密切关注数学世界！

今天，数学世界为大家分享一道初中数学中难度较大、综合性强的解答题，这题难度考查同学们的综合能力，属于拔高题型。大家在做题时要认真观察图形，充分利用已知条件，还要考虑作辅助线，只有这样才可能很快做出来。请大家先独立思考一会儿，再看下面的分析和解答过程，相信一定会有收获！

例题：（初中数学综合题）如图1所示，已知在△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE.

（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；

（2）如图2所示，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=√2 DE．

这道题的难度较大，需要较强的分析推理能力。很多同学由于缺乏分析问题的能力，不能发现题中考查到的知识点，而导致无法完成。第一问还比较简单，大多数人应该可以做出来。第二问的难度就很大了，要仔细分析图形，并结合已知条件，需要通过作辅助线，证明三角形全等才能得出结论。

大家在解答此题时，要熟练运用全等三角形的性质与判定，以及等腰三角形与直角三角形等知识。下面，数学世界就与大家一起来解决这道例题吧！

分析：（1）由直角三角形斜边上的中线性质可以得出DE=1/2AC=AE，所以AC=2DE=2，AE=1，再由勾股定理求出AB和BC的长，即可得出结果；

（2）连接AF（如图2所示），由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，结合△ABD是等腰直角三角形，得出∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由SAS证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，再证出△AEF是等腰直角三角形，即可得出结论．

（1）解：∵AB=BC，BE⊥AC，

∴AE=CE，∠AEB=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴DE=1/2AC=AE，

∴AC=2DE=2，AE=1，

在直角三角形AEB中，

AB^2=AE^2+BE^2，BE=3，

∴AB=√10，

∴BC=√10，

∴△ABC的周长为

AB+BC+AC=2√10 +2；

（2）证明：连接AF，如图2所示，

∵AB=BC，BE⊥AC，

∴∠3=∠4，

∵∠ADC=∠ADB=90°，AD=BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠3=22.5°，

∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，

∴∠1=∠3=22.5°，

∵DF平分∠ADB，

∴∠ADF=∠BDF，

在△ADF和△BDF中，

∵AD=BD，∠ADF=∠BDF，DF=DF，

∴△ADF≌△BDF（SAS），

∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，

∴∠EAF=∠1+∠2=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AF=√2 AE，

∵DE=AE，AF=BF，

∴BF=√2 DE．

（完毕）

这道题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识。本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线进行分析推理。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家在下面留言讨论。谢谢！

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