平面几何中，三角形和圆是研究的基础图形，初中数学在三角形上的研究比较多，圆相对少点，不过圆也应该是很重要的。中考数学中以圆为背景的压轴题，其难点一般不是圆本身，而是三角形相关知识。本文总结的圆模型，大多是圆基础知识和其他几何知识组合形成的新结论，有些定理很有意思。抛砖引玉，希望大家多多了解“圆”。

特注这些圆模型结论在中考中出现很少。

中考对圆的考核更多是教科书上的基本定理；

辅助线的构建方式往往是“三径”：直径，半径，垂径；

导角的基本方式是“三类角”：圆周角，圆心角，半径和弦心距夹角；

隐藏圆的题型也是三类：最值问题，瓜豆问题，共圆问题。

图中无圆，心中有圆，往往是解决平面几何难题的一大技巧方法。

1

弦切角定理

图中，α角=β角恒成立。α角叫做弦切角，β角是弦AC所对的圆周角，AE是切线。

证明方法：连接AO,多点O作AC垂线，利用同角的余角相等+圆周角等于弦心距和半径夹角证明。

2

切割线定理

图中，PA²=PC*PB

其中，PA是切点为A的切线，PB称为割线。

证明方法：连接AC和AB，可以证明ΔPAC∽ΔPBA，导角用弦切角定理

3

割线定理

图中，PD·PA=PC·PB

证明方法：过点P作圆切线，利用切割线定理可证。

4

相交弦定理

图中，ED·EB=EC·EA，其中，ED和EB是被AC截断的两条线段，所以定理可简单记作：截断线段乘积相等。

证明方法：ΔAED∽ΔBEC

5

公共弦定理

图中，AO⊥CD，其中CD叫做两圆的公共弦。

证明方法：取DC中点，由等腰三角形ACD证∠AEC为90°，同理可证∠OEC=90°，然后得点A、E、C三点共线，所以AO⊥CD

6

托勒密定理

图中，AB·CD+AD·BC=AC·BD，简单可记忆为“圆内四边形对角线相乘等于对边乘积之和”

证明方法：构造手拉手模型，在AC上取一点M使∠BMC等于∠BAD，然后可证ΔBMC∽ΔBAD,ΔBAM∽ΔBDC，最后通过计算可得。

7

阿基米德折弦定理

图中，若点E为弧AC中点且EF⊥AB,则AF=FB+BC。简单记忆为：“折掉的弦被弧中点所截仍相等”

证明方法：构造手拉手模型证明。在AF上取一点M使EM=EB，连接EM、EB、EA、EC、AC，可证等腰ΔEMB∽ΔEAC，再证ΔEMA≌ΔEBC，然后导边可得AF=FB+BC

8

婆罗摩笈多定理

图中，若AB⊥DE，则ΔBCD的斜边中线就是ΔACE的斜边高。简单记忆为“联系斜边高和中线的模型”

证明方法：倍长中线法。延长CG至点M使CG=GM，连接DM，可证ΔDMC∽ΔCEA，然后导角∠ACH+∠DCM=90°=∠ACH+∠CAE。

9

蝴蝶定理

如图，若PM=QM，则EM=FM一直成立。简单记忆为“蝴蝶的翅膀总是对称的”

证明方法：多次使用垂径定理+四点共圆导角+两次相似+等腰三角形。

取AD中点N和BC中点L，连接圆心OM、ON和OL，可证OMEN四点共圆，OMFL四点共圆，同时可证ΔMND∽ΔMLC，导角可得。

10

西姆松定理

图中，若点A、B、C、P四点共圆，则点E、F、G三点共线。其中点E、F、G三点分别为过点P向ΔABC三边作垂线的垂足。此定理可简单记忆为“联系四点共圆和三点共线的模型”

证明方法：3次四点共圆+导角证得

已知ABPC四点共圆可得∠ABP和∠ACP互补，由点EFPC四点共圆可得∠ECP和∠EFP互补，同理可得∠PFG和∠PBG相等。

总结了这么多的圆，突然心血来潮，想到一首偈语：

圆来圆往都是圆，一切有圆皆无圆；

圆中竞技真精彩，心中无圆却有圆。

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