平面幾何中，三角形和圓是研究的基礎圖形，初中數學在三角形上的研究比較多，圓相對少點，不過圓也應該是很重要的。中考數學中以圓爲背景的壓軸題，其難點一般不是圓本身，而是三角形相關知識。本文總結的圓模型，大多是圓基礎知識和其他幾何知識組合形成的新結論，有些定理很有意思。拋磚引玉，希望大家多多瞭解“圓”。

特注這些圓模型結論在中考中出現很少。

中考對圓的考覈更多是教科書上的基本定理；

輔助線的構建方式往往是“三徑”：直徑，半徑，垂徑；

導角的基本方式是“三類角”：圓周角，圓心角，半徑和絃心距夾角；

隱藏圓的題型也是三類：最值問題，瓜豆問題，共圓問題。

圖中無圓，心中有圓，往往是解決平面幾何難題的一大技巧方法。

1

弦切角定理

圖中，α角=β角恆成立。α角叫做弦切角，β角是弦AC所對的圓周角，AE是切線。

證明方法：連接AO,多點O作AC垂線，利用同角的餘角相等+圓周角等於弦心距和半徑夾角證明。

2

切割線定理

圖中，PA²=PC*PB

其中，PA是切點爲A的切線，PB稱爲割線。

證明方法：連接AC和AB，可以證明ΔPAC∽ΔPBA，導角用弦切角定理

3

割線定理

圖中，PD·PA=PC·PB

證明方法：過點P作圓切線，利用切割線定理可證。

4

相交弦定理

圖中，ED·EB=EC·EA，其中，ED和EB是被AC截斷的兩條線段，所以定理可簡單記作：截斷線段乘積相等。

證明方法：ΔAED∽ΔBEC

5

公共弦定理

圖中，AO⊥CD，其中CD叫做兩圓的公共弦。

證明方法：取DC中點，由等腰三角形ACD證∠AEC爲90°，同理可證∠OEC=90°，然後得點A、E、C三點共線，所以AO⊥CD

6

托勒密定理

圖中，AB·CD+AD·BC=AC·BD，簡單可記憶爲“圓內四邊形對角線相乘等於對邊乘積之和”

證明方法：構造手拉手模型，在AC上取一點M使∠BMC等於∠BAD，然後可證ΔBMC∽ΔBAD,ΔBAM∽ΔBDC，最後通過計算可得。

7

阿基米德折弦定理

圖中，若點E爲弧AC中點且EF⊥AB,則AF=FB+BC。簡單記憶爲：“折掉的弦被弧中點所截仍相等”

證明方法：構造手拉手模型證明。在AF上取一點M使EM=EB，連接EM、EB、EA、EC、AC，可證等腰ΔEMB∽ΔEAC，再證ΔEMA≌ΔEBC，然後導邊可得AF=FB+BC

8

婆羅摩笈多定理

圖中，若AB⊥DE，則ΔBCD的斜邊中線就是ΔACE的斜邊高。簡單記憶爲“聯繫斜邊高和中線的模型”

證明方法：倍長中線法。延長CG至點M使CG=GM，連接DM，可證ΔDMC∽ΔCEA，然後導角∠ACH+∠DCM=90°=∠ACH+∠CAE。

9

蝴蝶定理

如圖，若PM=QM，則EM=FM一直成立。簡單記憶爲“蝴蝶的翅膀總是對稱的”

證明方法：多次使用垂徑定理+四點共圓導角+兩次相似+等腰三角形。

取AD中點N和BC中點L，連接圓心OM、ON和OL，可證OMEN四點共圓，OMFL四點共圓，同時可證ΔMND∽ΔMLC，導角可得。

10

西姆松定理

圖中，若點A、B、C、P四點共圓，則點E、F、G三點共線。其中點E、F、G三點分別爲過點P向ΔABC三邊作垂線的垂足。此定理可簡單記憶爲“聯繫四點共圓和三點共線的模型”

證明方法：3次四點共圓+導角證得

已知ABPC四點共圓可得∠ABP和∠ACP互補，由點EFPC四點共圓可得∠ECP和∠EFP互補，同理可得∠PFG和∠PBG相等。

總結了這麼多的圓，突然心血來潮，想到一首偈語：

圓來圓往都是圓，一切有圓皆無圓；

圓中競技真精彩，心中無圓卻有圓。

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