RNN神经网络产生梯度消失和梯度爆炸的原因及解决方案
1、RNN模型结构
循环神经网络RNN（Recurrent Neural Network）会记忆之前的信息，并利用之前的信息影响后面结点的输出。也就是说，循环神经网络的隐藏层之间的结点是有连接的，隐藏层的输入不仅包括输入层的输出，还包括上时刻隐藏层的输出。下图为RNN模型结构图：
2、RNN前向传播算法
RNN前向传播公式为：
其中：
S t 为 t 时刻的隐含层状态值；
O t 为 t 时刻的输出值；
①是隐含层计算公式， U 是输入 x 的权重矩阵， S t-1 是 t-1 时刻的状态值， W 是 S t-1 作为输入的权重矩阵，$\Phi $是激活函数；
②是输出层计算公司， V 是输出层的权重矩阵， f 是激活函数。
损失函数（loss function）采用交叉熵$L_{t}=-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$（O t 是t时刻预测输出，$\overline{o_{t}}$是t时刻正确的输出）
那么对于一次训练任务中，损失函数$L=\sum_{i=1}^{T}-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$， T是序列总长度。
假设初始状态 S t 为0， t =3 有三段时间序列时，由 ① 带入②可得到
t1、t2、t3 各个状态和输出为：
t =1：
状态值：$s_{1}=\Phi (Ux_{1}+Ws_{0})$
输出：$o_{1}=f(V\Phi (Ux_{1}+Ws_{0}))$
t =2：
状态值：$s_{2}=\Phi (Ux_{2}+Ws_{1})$
输出：$o_{2}=f(V\Phi (Ux_{2}+Ws_{1}))=f(V\Phi (Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0})))$
t =3：
状态值：$s_{3}=\Phi (Ux_{3}+Ws_{2})$
输出：$o_{3}=f(V\Phi (Ux_{3}+Ws_{2}))=\cdots =f(V\Phi (Ux_{3}+W\Phi(Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0}))))$
3、RNN反向传播算法
BPTT（back-propagation through time）算法是针对循层的训练算法，它的基本原理和BP算法一样。其算法本质还是梯度下降法，那么该算法的关键就是计算各个参数的梯度，对于RNN来说参数有 U、W、V 。
反向传播
现对 t =3时刻的 U、W、V 求偏导，由链式法则得到：
可以简写成：
观察③④⑤式，可知，对于 V 求偏导不存在依赖问题；但是对于 W、U 求偏导的时候，由于时间序列长度，存在长期依赖的情况。主要原因可由 t =1、2、3 的情况观察得 , S t 会随着时间序列向前传播，同时 S t 是 U、W 的函数。
前面得出的求偏导公式⑥，取其中累乘的部分出来，其中激活函数 Φ 通常是 tanh 函数 ，则
4、梯度爆炸和梯度消失的原因
激活函数 tanh 和它的导数图像如下:
由上图可知当激活函数是 tanh 函数时， tanh 函数的导数最大值为1，又不可能一直都取1这种情况，实际上这种情况很少出现，那么也就是说，大部分都是小于1的数在做累乘，若当t很大的时候，$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趋向0，举个例子：0.8 50 =0.00001427247也已经接近0了，这是RNN中梯度消失的原因。
再看⑦部分：
$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'W$
如果参数 W 中的值太大，随着序列长度同样存在长期依赖的情况，$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趋向于无穷，那么产生问题就是梯度爆炸。
在平时运用中，RNN比较深，使得梯度爆炸或者梯度消失问题会比较明显。
5、解决梯度爆炸和梯度消失的方案
1）采使用ReLu激活函数
面对梯度消失问题，可以采用ReLu作为激活函数，下图为ReLu函数：
ReLU函数在定义域大于0部分的导数恒等于1，这样可以解决梯度消失的问题，（虽然恒等于1很容易发生梯度爆炸的情况，但可通过设置适当的阈值可解决）。
另外计算方便，计算速度快，可以加速网络训练。但是，定义域负数部分恒等于零，这样会造成神经元无法激活（可通过合理设置学习率，降低发生的概率）。
ReLU有优点也有缺点，其中的缺点可以通过其他操作取避免或者减低发生的概率，是目前使用最多的激活函数。
还可以通过更改内部结构来解决梯度消失和梯度爆炸问题，那就是LSTM了。
2）使用长短记忆网络LSTM
使用长短期记忆（LSTM）单元和相关的门类型神经元结构可以减少梯度爆炸和梯度消失问题，LSTM的经典图为：
可以抽象为：
三个 × 分别代表的就是forget gate，input gate，output gate，而我认为LSTM最关键的就是forget gate这个部件。这三个gate是如何控制流入流出的呢，其实就是通过下面 ft，it，ot 三个函数来控制，因为$\sigma (x)$ 代表sigmoid函数） 的值是介于0到1之间的，刚好用趋近于0时表示流入不能通过gate，趋近于1时表示流入可以通过gate。
$f_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})$
$i_{t}=\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i)$
$o_{t}=\sigma (W_{o}X_{t}+b_{o})$
LSTM当前的状态值为： $S_{t}=f_{t}S_{t-1}+i_{t}X_{t}$， 表达式展开后得：
$S_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}$
如果加上激活函数:
$S_{t}=tanh[\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}]$
上文中讲到传统RNN求偏导的过程包含：
$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$
对于LSTM同样也包含这样的一项，但是在LSTM中 为：
$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'(W_{f}X_{t}+b_{f})$
假设$Z=tanh'(x)\sigma (y)$，则Z的函 数图像如下图所示：
可以看到该函数值基本上不是0就是1。
传统RNN的求偏导过程：
$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}(\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}})\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$
如果在LSTM中上式可能就会变成：
$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$
因为$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})\approx 0|1$，这样解决了传统RNN中梯度消失的问题。
参考
