RNN神經網絡產生梯度消失和梯度爆炸的原因及解決方案
1、RNN模型結構
循環神經網絡RNN（Recurrent Neural Network）會記憶之前的信息，並利用之前的信息影響後面結點的輸出。也就是說，循環神經網絡的隱藏層之間的結點是有連接的，隱藏層的輸入不僅包括輸入層的輸出，還包括上時刻隱藏層的輸出。下圖爲RNN模型結構圖：
2、RNN前向傳播算法
RNN前向傳播公式爲：
其中：
S t 爲 t 時刻的隱含層狀態值；
O t 爲 t 時刻的輸出值；
①是隱含層計算公式， U 是輸入 x 的權重矩陣， S t-1 是 t-1 時刻的狀態值， W 是 S t-1 作爲輸入的權重矩陣，$\Phi $是激活函數；
②是輸出層計算公司， V 是輸出層的權重矩陣， f 是激活函數。
損失函數（loss function）採用交叉熵$L_{t}=-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$（O t 是t時刻預測輸出，$\overline{o_{t}}$是t時刻正確的輸出）
那麼對於一次訓練任務中，損失函數$L=\sum_{i=1}^{T}-\overline{o_{t}}logo_{_{t}}$， T是序列總長度。
假設初始狀態 S t 爲0， t =3 有三段時間序列時，由 ① 帶入②可得到
t1、t2、t3 各個狀態和輸出爲：
t =1：
狀態值：$s_{1}=\Phi (Ux_{1}+Ws_{0})$
輸出：$o_{1}=f(V\Phi (Ux_{1}+Ws_{0}))$
t =2：
狀態值：$s_{2}=\Phi (Ux_{2}+Ws_{1})$
輸出：$o_{2}=f(V\Phi (Ux_{2}+Ws_{1}))=f(V\Phi (Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0})))$
t =3：
狀態值：$s_{3}=\Phi (Ux_{3}+Ws_{2})$
輸出：$o_{3}=f(V\Phi (Ux_{3}+Ws_{2}))=\cdots =f(V\Phi (Ux_{3}+W\Phi(Ux_{2}+W\Phi(Ux_{1}+Ws_{0}))))$
3、RNN反向傳播算法
BPTT（back-propagation through time）算法是針對循層的訓練算法，它的基本原理和BP算法一樣。其算法本質還是梯度下降法，那麼該算法的關鍵就是計算各個參數的梯度，對於RNN來說參數有 U、W、V 。
反向傳播
現對 t =3時刻的 U、W、V 求偏導，由鏈式法則得到：
可以簡寫成：
觀察③④⑤式，可知，對於 V 求偏導不存在依賴問題；但是對於 W、U 求偏導的時候，由於時間序列長度，存在長期依賴的情況。主要原因可由 t =1、2、3 的情況觀察得 , S t 會隨着時間序列向前傳播，同時 S t 是 U、W 的函數。
前面得出的求偏導公式⑥，取其中累乘的部分出來，其中激活函數 Φ 通常是 tanh 函數 ，則
4、梯度爆炸和梯度消失的原因
激活函數 tanh 和它的導數圖像如下:
由上圖可知當激活函數是 tanh 函數時， tanh 函數的導數最大值爲1，又不可能一直都取1這種情況，實際上這種情況很少出現，那麼也就是說，大部分都是小於1的數在做累乘，若當t很大的時候，$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趨向0，舉個例子：0.8 50 =0.00001427247也已經接近0了，這是RNN中梯度消失的原因。
再看⑦部分：
$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'W$
如果參數 W 中的值太大，隨着序列長度同樣存在長期依賴的情況，$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$中的$\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'$趨向於無窮，那麼產生問題就是梯度爆炸。
在平時運用中，RNN比較深，使得梯度爆炸或者梯度消失問題會比較明顯。
5、解決梯度爆炸和梯度消失的方案
1）採使用ReLu激活函數
面對梯度消失問題，可以採用ReLu作爲激活函數，下圖爲ReLu函數：
ReLU函數在定義域大於0部分的導數恆等於1，這樣可以解決梯度消失的問題，（雖然恆等於1很容易發生梯度爆炸的情況，但可通過設置適當的閾值可解決）。
另外計算方便，計算速度快，可以加速網絡訓練。但是，定義域負數部分恆等於零，這樣會造成神經元無法激活（可通過合理設置學習率，降低發生的概率）。
ReLU有優點也有缺點，其中的缺點可以通過其他操作取避免或者減低發生的概率，是目前使用最多的激活函數。
還可以通過更改內部結構來解決梯度消失和梯度爆炸問題，那就是LSTM了。
2）使用長短記憶網絡LSTM
使用長短期記憶（LSTM）單元和相關的門類型神經元結構可以減少梯度爆炸和梯度消失問題，LSTM的經典圖爲：
可以抽象爲：
三個 × 分別代表的就是forget gate，input gate，output gate，而我認爲LSTM最關鍵的就是forget gate這個部件。這三個gate是如何控制流入流出的呢，其實就是通過下面 ft，it，ot 三個函數來控制，因爲$\sigma (x)$ 代表sigmoid函數） 的值是介於0到1之間的，剛好用趨近於0時表示流入不能通過gate，趨近於1時表示流入可以通過gate。
$f_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})$
$i_{t}=\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i)$
$o_{t}=\sigma (W_{o}X_{t}+b_{o})$
LSTM當前的狀態值爲： $S_{t}=f_{t}S_{t-1}+i_{t}X_{t}$， 表達式展開後得：
$S_{t}=\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}$
如果加上激活函數:
$S_{t}=tanh[\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})S_{t-1}+\sigma (W_{i}X_{t}+b_{i})X_{t}]$
上文中講到傳統RNN求偏導的過程包含：
$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'W$
對於LSTM同樣也包含這樣的一項，但是在LSTM中 爲：
$\prod_{j=k-1}^{t}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{t}tan{h}'(W_{f}X_{t}+b_{f})$
假設$Z=tanh'(x)\sigma (y)$，則Z的函 數圖像如下圖所示：
可以看到該函數值基本上不是0就是1。
傳統RNN的求偏導過程：
$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}(\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}})\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$
如果在LSTM中上式可能就會變成：
$\frac{\sigma L_{3}}{\sigma W}=\sum_{k=0}^{t}\frac{\partial L_{3}}{\partial o_{3}}\frac{\partial o_{3}}{\partial s_{3}}\frac{\partial s_{k}}{\partial W}$
因爲$\prod_{j=k-1}^{3}\frac{\partial s_{j}}{\partial s_{j-1}}=\prod_{j=k-1}^{3}tan{h}'\sigma (W_{f}X_{t}+b_{f})\approx 0|1$，這樣解決了傳統RNN中梯度消失的問題。
參考
