2020年天津中考数学第18题改编题2（预备题），正方形网格中的平行线

预备知识

正方形网格中所有的网格线不是互相垂直，就是互相平行．

如图，若直线AB被横向的网格线所截，根据“平行线分线段成比例”（基本事实），因为每个小正方形的边长都相等，所以AC＝CD＝DE＝EF＝FB．

很多网格就是没有坐标轴的坐标系，它的重要性不言而喻．在很多省市的中考卷中都会看到它的身影．

下面我们探究网格线以外的平行线．

例1

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点G，H，A，C，都是格点，求证：GH∥AC．

思路1

如答图1，取格点M，N，连接AM，CM，GN，HN．

证明△ACM≌△GHN，或证明∠C与∠H的正切值相等，

都可以得到∠C＝∠H．

又∵∠C＝∠1，∴∠1＝∠H．

∴AC∥GH．

思路2

如答图2，连接AG，CH，

由于点A与点C的移动方向相同，且移动的距离相等，所以GH由AC平移所得，即AC∥GH(且AC＝GH)．

评析

思路2的关键在于理解平移的本质．

请抓住一个图形“平移”的两个要点:

①每个点移动的方向都要相同;

②每个点移动的距离都要相等．

利用网格，这里可以理解为点A，C的运动方向都是“东北”，而且点A，C的移动距离都等于小正方形对角线的长；也可以把运动“分解为”先向右移动一格，再向上移动一格，这样移动的距离当然相等．

思路3

如答图3，取格点P，Q，连接PQ．

由网格得PA∥QC，且PA＝QC，所以四边形PACQ是平行四边形，所以AC∥PQ．

同理可证PQ∥GH．

依“三线平行”得到AC∥GH．

评析

以上思路本人更倾向于思路2．一般地，我们在正方形网格，或平面直角坐标系中作平移变换时，都是用这种思路．

思路3是繁了一点，但是最好理解．

例2

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点G，H，A，C，E，F都是格点，直线BF被GH，AC，EF所截得的线段KD，DB是否相等？为什么？

提示

利用例1的结论，我们可以证明GH，AC，EF是一组平行线．

如答图4，连接GE，由网格的特性，得GE必过点A，且GA＝AE．

依平行线分线段成比例，

则KD＝DB．

例3

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点F，A，C都是格点，点B在网格线上，

思路提示

思路1

如答图5，注意到点B在点A的下方，延长BF，交网格线于点D（点D在点C的下方）．取格点E，G，连接BE，EF，FG，GD．

在△FBE与△FDG中，

∵∠FEB＝∠FGD(＝90)，

∠BFE＝∠DFG，

∴△FBE∽△FDG．

∴DG∶BE＝FG∶FE＝1∶2，

∴四边形ABDC是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

∴BF∥AC．

评析

证明平行的思路总体上与例1中的思路3是一致的．

思路2

用同一法．

如答图6，取格点E，连接EF，交网格线AB于点B′．

∵B′E∥EM，

∴△FB′E∽△FEM．

∴B′E∶EM＝FE∶FM．

思路3

利用三角形相似．

如答图7，取格点S，T．

∴∠CAS＝∠FBT．

∴BF∥AC．

还有更好的思路吗？

评析

这道题的难点在于虽然给出了AB的长度，但是点B不是格点，所以无论如何都要求助于其他格点．