2020年天津中考数学第21题评讲，切线题目需要优先考虑的辅助线

原题

在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63．

（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100，求∠BAD和∠CDB的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．

解答

（Ⅰ） 把∠APC看作△ PBC的一个外角，则

∠APC＝∠ABC＋∠BCD．

∴∠BCD＝37．

根据同弧所对的圆周角相等，得

∠BAD＝∠BCD＝37．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90．

∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC．

∵∠ADC＝∠ABC＝63，

∴∠CDB＝27．

（Ⅱ）如答图，连接OD．

依切线的性质定理，得∠ODE＝90．

∵∠BCP＝90－∠ABC＝27，

依圆周角的性质，得

∠EOD＝2∠BCP＝54．

∴∠E＝90－∠EOD＝36．

考点

三角形的外角；

同弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角；

直角三角形的两个锐角互余；

切线的性质定理；

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

评析

这是一道很好的考题，牵涉到的知识点较全面，难度适中．

在第２问中，连接OD是关键．一般地，如果圆的切线有给出切点，要优先考虑连接圆心与切点．