2020年南京中考数学第24题特色评讲

原题

如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．

求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；

（2）AF＝EF．

解答

（1）

分析

平行四边形的证法很多，应该用哪一种？

注意到已知条件中，AC＝BC，猜测要用到∠A＝∠B．在圆中，∠B是圆外角，而∠A是圆周角，它的“地位”显然要高于∠B，而∠B＝∠DFC，∠DFC又是四边形DBCF的一个内角，至此，解题的思路已经很清晰了．

继续解答

如答图1，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC．

∵∠BAC＝∠DFC（同弧所对的圆周角相等），

∴∠B＝∠DFC．

在四边形DBCF中，

∵DF∥BC，

∠B＝∠DFC，

∴四边形DBFC是平行四边形（一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形）．

讲评

这样证法有一定风险，如果有时间，可以由DF∥BC得∠DFC与∠BCF互补，然后等量代换，得∠B与∠BCF互补，进而得DB∥CF，这样比较保险．

继续解答

（2）如答图2，连接AE，猜测可能利用∠1＝∠EAF证明AF＝EF．

先从∠1入手，

依“同弧所对的圆周角相等”，得∠1＝∠2．

然后依“两直线平行，同位角相等”，得∠2＝∠B．

∴∠1＝∠B．

再从∠EAF入手，

∠EAF和∠ECF的圆内接四边形AECF的一组对角，

∴∠EAF＋∠ECF＝180，

由（1）得DB∥FC，

∴∠B＋∠ECF＝180．

∴∠B＝∠EAF（同角的补角相等）．

最后，由等量代换，得∠1＝∠EAF．

∴AF＝EF（等角对等边）．

再次讲评

这里运用“圆内接四边形的一组对角互补”可以简化证明过程．

最后还是要强调一下：

这道题中证明平行四边形靠什么？

证明两条线段（弦）相等靠什么？

难道你不觉得角在证明当中有多重要吗？