2020年南京中考數學第24題特色評講

原題

如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經過點A、C、D，交BC於點E，過點D作DF∥BC，交⊙O於點F．

求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；

（2）AF＝EF．

解答

（1）

分析

平行四邊形的證法很多，應該用哪一種？

注意到已知條件中，AC＝BC，猜測要用到∠A＝∠B．在圓中，∠B是圓外角，而∠A是圓周角，它的“地位”顯然要高於∠B，而∠B＝∠DFC，∠DFC又是四邊形DBCF的一個內角，至此，解題的思路已經很清晰了．

繼續解答

如答圖1，

∵AC＝BC，

∴∠B＝∠BAC．

∵∠BAC＝∠DFC（同弧所對的圓周角相等），

∴∠B＝∠DFC．

在四邊形DBCF中，

∵DF∥BC，

∠B＝∠DFC，

∴四邊形DBFC是平行四邊形（一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形）．

講評

這樣證法有一定風險，如果有時間，可以由DF∥BC得∠DFC與∠BCF互補，然後等量代換，得∠B與∠BCF互補，進而得DB∥CF，這樣比較保險．

繼續解答

（2）如答圖2，連接AE，猜測可能利用∠1＝∠EAF證明AF＝EF．

先從∠1入手，

依“同弧所對的圓周角相等”，得∠1＝∠2．

然後依“兩直線平行，同位角相等”，得∠2＝∠B．

∴∠1＝∠B．

再從∠EAF入手，

∠EAF和∠ECF的圓內接四邊形AECF的一組對角，

∴∠EAF＋∠ECF＝180，

由（1）得DB∥FC，

∴∠B＋∠ECF＝180．

∴∠B＝∠EAF（同角的補角相等）．

最後，由等量代換，得∠1＝∠EAF．

∴AF＝EF（等角對等邊）．

再次講評

這裏運用“圓內接四邊形的一組對角互補”可以簡化證明過程．

最後還是要強調一下：

這道題中證明平行四邊形靠什麼？

證明兩條線段（弦）相等靠什麼？

難道你不覺得角在證明當中有多重要嗎？