在數學中，一個代數結構由一個非空集A（稱爲基礎集）、對A的操作的集合（通常是加法和乘法等二元操作）和一個有限的恆等式集（稱爲公理）組成，這些操作必須滿足這些恆等式。

數，最好是不看成個別的對象，而是看作數系的元素。數系裏麪包含了一些對象（即數），以及施加於它們的一些運算（如加法和乘法）。這樣，數系就是一個代數結構。然而，還有許多不是數系的重要的代數結構。

羣

若S是一個幾何圖形，S上的一個剛性運動，就是一種移動S的方式，使得在此運動中，S的任意兩點的距離不變（就是不允許擠壓和拉伸）。如果在一個剛性運動以後，S的形狀不變，就說這個剛性運動是S的一個對稱。舉例來說，設S是一個等邊三角形，讓S繞它的中心旋轉120°，這個旋轉就是一個對稱；S對於經過其一個頂點與該點對邊中點的直線作反射，這也是一個對稱。

更形式地說，S的一個對稱就是一個由S到其自身的函數f，使得S的任意兩點x與y的距離與變換後的兩點f（x）與f（y）的距離相同。

這個思想可以大大地推廣∶如果S是任意的數學結構，S的對稱就是一個由S 到其自身的保持這個結構的函數。由於有這樣的廣泛性，對稱在數學裏面就是一個滲透到各處的概念∶只要哪裏有了對稱出現，羣的概念就會緊緊地跟上來。

爲什麼會這樣？令f是頂點爲 A，B，C的等邊三角形，設它的邊長爲1。這時，f（A），f（B），f（C）就是此三角形中的三個點，這個三角形中任意兩點的最遠距離是1。不難看到，一旦選定了f（A），f（B），f（C），則三角形內任意點處f的值也就完全確定了。

例如，設X是A，C兩點的中點，f（X）也就一定是f（A）和f（C）的中點。

讓我們寫出 A，B，C三點在變換以後的次序，由此來記這些對稱。所以，舉例來說，對稱ACB就是保持A點不動，而令B，C交換位置的對稱，只要把三角形對於過 A 和 B，C 中點的連線作反射，就可以得到這個對稱。一共有3個這樣的對稱∶ACB，CBA，BAC，還有兩個旋轉BCA，CAB。最後還有一個"平凡的"對稱ABC，它讓所有的點都不動（這個“平凡的”對稱的用處，恰好和零在整數加法的代數里的作用一樣）。

使得對稱的這一個集合成爲羣的，是任意兩個對稱可以互相複合，意思是一個對稱以後再跟着一個對稱就會產生第三個對稱。例如，如果在反射 BAC 後面再來一個反射ACB，就會得到一個旋轉CAB。要但是注意，進行對稱的次序是有關係的∶如果是先作反射 ACB，再作 BAC，就會得到旋轉 BCA。

我們把對稱本身也看成“對象”。而把複合看成是對於這些對象的代數運算，有點像加法和乘法之於數一樣。這個運算有下面的有用的性質∶

1. 它是結合的，

2. 平凡對稱是恆等元，

3. 而每一個對稱都有逆。

更一般地說，任何一個帶有一個二元運算的集合，若此運算有以上的性質，就叫做一個羣。

至於這個運算是否可交換，這並不是羣的定義的一部分，因爲如我們剛纔所看見的，複合兩個對稱時，哪一個在先，哪一個在後是有區別的。然而，如果這個二元運算是可交換的，這個羣就成爲阿貝爾羣。數系Z，Q，R，C對於加法都是阿貝爾羣，或者用我們常用的說法，它們在加法下成爲阿貝爾羣。如果把零從Q，R，C中除去，它們在乘法下也是阿貝爾羣，但是Z並不是，因爲缺少逆元∶整數的倒數，一般並不是整數。

域

在數學中，域是一組定義加減乘除運算的集合，其行爲如同對有理數和實數的相應運算。因此，域是一種基本的代數結構，廣泛應用於代數、數論和許多其他數學領域。最有名的域是有理數域，實數域和複數域。許多其他域，如有理函數域、代數函數域和代數數域是數學中常用和研究的域，特別是數論和代數幾何。

兩個域之間的關係用域擴展的概念表示。伽羅瓦理論，致力於理解域擴展的對稱性。這個理論表明，角的三分和化圓爲方不能用圓規和直尺完成。此外，它表明五次方程一般是代數不可解的。

域（Field）在交換環的基礎上，增加了二元運算除法，要求元素（除零以外）可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。由此可見，域是一種可以進行加減乘除（除0以外）的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元（1/3不是整數），所以整數集合不是域。

雖然好幾個數域都是羣，但是隻把它們看成羣就是忽略了其代數結構的很大一部分。特別是，羣裏面只有一個二元運算，標準的數系卻有兩個，即加法和乘法（由此還可以得到其他附加的運算，如減法和除法）。域的形式定義很長，它是一個具有兩個二元運算的集合，還有幾個這些運算必須滿足的公理。有一個好辦法來記憶這些公理。先把數系Q，R和C中的加法和乘法所滿足的性質寫出來。

這些性質如下：

• 加法和乘法都是可交換的以及結合的，二者都有恆等元（對於加法是0，對於乘法是1）。

• 每個元素 x 都有加法逆 -x 和乘法逆1/x（但是0 沒有乘法逆）。正是由於這些逆元的存在，使得我們能夠定義減法和除法∶x-g意思就是x＋（-y），而x/y則是x·（1/y）。

這就覆蓋了加法和乘法單獨具有的全部性質。但是在定義數學結構時，有一個很一般的原理∶如果一個數學定義可以分成幾個部分，則除非這些部分可以相互作用，否則這個定義是沒有什麼意思的。現在加法和乘法就是這兩個部分，而迄今所講到的性質並未把它們以某種方式連接起來。

• 但是最後還有一個性質，即分配律，做到了這一點，從而完成了對於域的性質的刻畫。這就是把括號乘開來的規則∶對於域中的任意三個元x，y和z，有x（y＋z）=xy＋xz。

在列出了這些性質以後，可以抽象地來看待整個情況，並把這些性質看作公理，於是我們說∶域就是具有兩種二元運算的集合，這些運算需適合以上全部公理。但是，當我們在域中從事研究時，通常並不是把這些性質看成公理的清單，而是看作一個許可證∶允許我們在其中做有理數域、實數域和複數域中的所有代數運算。

很清楚，公理越多，尋找滿足它們的數學結構就越難，遇到域的情況比遇到羣的情況更少見一些。因此，理解域的最好的辦法可能莫過於集中注意於例子。除了Q，R和C以外還有一個域跳了出來，成爲域的一個基本的例子，它就是整數 mod p（這裏p是一個素數）所成的集合 F_p，其中的加法和乘法都是 mod p 來定義的。

使得域有意義的其實還不在於存在這些基本的例子，而在於有一個重要的過程與域有關，這個過程稱爲域的擴張，它使我們能夠從原來的域構造出新的域來。這裏的思想是∶先已有了一個域F，找一個多項式P使它的根不在F中，然後把一個新的元素“附加”到F上，規定這個新元素是P的不在F中的根。用這個根和F中的元素通過一切可能的加法和乘法做出新的式子來，這些式子就構成了一個新的域F'。稱爲F的擴張。

我們看一下域R的擴張過程的一個例子。多項式

在R中沒有根，於是我們把i附加到R上去，得到了所有形如a＋bi，（a，b∈R）的式子，這樣就得到了複數域C。

我們也可以把這個過程用於F_3，P（x）=x^2＋1在其中也沒有根。這樣，也會得到一個新的域，它和C一樣，也是形如a＋bi的複合所成的一個集合，但是現在的 a 和 b都是F_3的元素。因爲 F_3中只有3個元，所以現在的新域只有9個元素。再一個例子是

它是

這樣的數的集合，a和b是有理數。

Q（γ）是一個稍微複雜的例子，這裏γ是多項式 x^3-x-1的根。這個域的典型的元素就是形如 a＋by＋cγ^2的式子，而a，b和c是有理數。如果我們在Q（γ）中做算術，則見到γ^3就要把它換成γ＋1（因爲γ^3-γ-1=0），正如在複數域中見到i^2就要換成-1一樣。爲什麼域的擴張很重要？以後討論。

引進域的第二個非常值得注意的地方是，它們可以用來構成向量空間。

向量空間

表示平面上一個點的最方便的方法之一是使用笛卡兒座標。選一個原點互相成直角的方向 X，Y。如果從原點出發，沿方向 X走過距離 a，再從這一點繼續沿方向Y走過距離b，那麼（a，b）這一對數就表示所達到的平面上的點。

同是這件事換一個說法是∶令x和y表示X和Y方向的單位向量，它們的笛卡兒座標分別是（1，0）和（0，1）。這時，平面上的每一個點都是基底向量x和y的線性組合 ax＋by。

下面是線性組合出現的另一個情況。一個（線性）微分方程

知道了y=sinx和y=cosx是兩個可能的解，則容易驗證，對於任意的數a和b，y=asinx+bcosx也是解。就是說，已經存在的解sinx 和 cosx 的任意線性組合仍然是解。結果會得出，所有的解都是這種形式，所以我們把 sinx 和 cosx 也看成這個微分方程的解"空間"的"基底向量"。

線性組合出現在整個數學的許多情況下。再給一個例子，任意的3次多項式的形式都是

它是四個基底多項式1，x，x^2，x^3的線性組合。

向量空間就是一個線性組合概念在其中有意義的數學結構。屬於此向量空間的對象，除非我們在討論一個特定的例子，或者把它想作一個具體的對象，如多項式或線性微分方程的解的時候，通常就稱爲向量。稍微形式化一點，一個向量空間就是一個集合V，使得對其中任意兩個向量（即V的元素）w和w，以及任意兩個實數a和b，都可以構成其線性組合av＋bw。

注意，線性組合涉及兩個不同類的對象，一類是向量v和w，另一類是數a和b。後者稱爲標量。構造線性組合的運算可以分成兩個組成部分，即加法以及乘以標量。爲了構造出 av＋bw，先要用標量a和b去乘向量v和 w，分別得出向量av和bw，再把所得的向量加起來，得出完全的線性組合av＋bw。

線性組合的定義必須服從一些自然的規則。下列的相加要是可交換的和結合的，就有恆等元（稱爲零向量）。對於每一個向量v，又必須有逆元（記作-v）。乘以標量也要服從某種結合律，即 a（bv），（ab）v 必須恆相等。我們也需要兩個分配律，即對任意的標量a，b和任意的向量v，w均有（a＋b）g=av＋bv，以及a（v＋w）=av＋aw。

給定了一個向量空間V以後，所謂它的基底無非就是具有以下性質的一組向量∶v_1，V_2，…，V_n，而V的任意元素，即任意向量都可以用唯一的方式寫成它們的一個線性組合

可能有兩種情況使得這件事失敗∶一是可能有某個向量不能寫成 v_1，V_2，…，V_n的線性組合，二是可能有一個向量雖然可以寫成這種線性組合，但是寫法不止一種。如果V的所有向量都可以寫成v_1，V_2，…，V_n的線性組合，就說v_1，V_2，…，V_n張成了整個空間 V。如果沒有哪一個向量能以多於一種方式寫成它們的線性組合，就說v_1，V_2，…，V_n 是獨立的。一個等價的定義是∶v_1，V_2，…，V_n是獨立的，如果把零向量寫成

的方法只能是取

基底中元素的個數稱爲V的維數（簡稱維）。一個向量空間不會有兩個大小不同的基底，這一點並非顯然，但是可以證明確實不會有，所以維的概念纔有意義。對於平面，前面說到的向量x和y構成了一個基底，所以平面的維數是2。

最明顯的n維向量空間就是由n個實數所成的序列（x_1，x_2，…，x_n）的空間。如果要把序列（y_1，y_2，…，y_n）加到它上面去，只需構造序列（x_1+y_1，x_2+y_2，…，x_n＋y_n）即可，要用標量c去乘它，只需作（cx_1，cx_2，…，cx_n）即可，這個向量空間記作

基底中的向量的個數並不一定是有限數。一個沒有有限基底的向量空間稱爲無限維的。許多最重要的向量空間，特別是“向量”爲函數的向量空間，常是無限維的。

關於標量，還有最後一個說明。在前面標量是定義爲構造向量的線性組合時所用的實數。真正重要的是它們必須屬於一個域，所以Q，R 和C都可以用作標量的系統，說真的，更一般的域也是可以的。如果一個向量空間V的標量來自域F，就說V是域F上的向量空間。這個推廣重要而且有用。

環

另一個非常重要的代數結構是環。環對於數學並不如羣、域或向量空間那樣處於中心地位。粗略地說，環就是具有域的幾乎所有的但不是所有性質的代數結構。特別是對於乘法運算，環就不如域要求得那麼嚴格，最重要的放鬆之處是，不要求環中的非零元具有乘法逆，而且有時環的乘法不一定是可交換的。如果它是，這個環就叫做可換環——可換環的典型例子就是所有整數的集合Z，另一個例子是係數在某個域F中的多項式的集合。