当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．

如图①，AD 是△ABC 的中线，延长 AD 至点 E 使 DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．

如图②，D 是 BC 中点，延长 FD 至点 E 使 DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）

经典例题

【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出

（1）如图，是△ 的中线，则 + __________2；（填“ > ”“ < ”或“ = ”）

问题探究

（2）如图，在矩形中， = 3, = 4，点为的中点，点为上任意一点，当△ 的周长最小时，求的长；

问题解决

（3）如图，在矩形中， = 4, = 2，点为对角线的中点，点为上任意一点，点为上任意一点，连接、、，是否存在这样的点，使折线的长度最小？若存在，请确定点的位置，并求出折线的最小长度；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）＞；（2） = 1；（3）当点与的中点重合时，折线的长度最小，最小长度为4．

【分析】（1）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出 = ，再根据三角形的三边关系定理即可得；

（2）如图（见解析），先根据矩形的性质得出 = 3,∠ = ∠ = 90°,//，从而可得AE 的长，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短得出△ 的周长最小时，点F 的位置，然后利用相似三角形的判定与性质即可得；

（3）如图（见解析），先根据轴对称性质、两点之间线段最短得出折线的长度最小时，′,,,′四点共线，再利用直角三角形的性质、矩形的性质得出∠ = 30°， = 2 3， = 2，然后利用轴对称的性质、角的和差可得′ = 2 3,′ = 2，∠′′ = 90°。由此利用勾股定理可求出′′的长，即折线的最小长度。

设′′交于点′，根据等边三角形的判定与性质可得′ = 2，从而可得′ = ，由此即可得折线的长度最小时，点Q 的位置．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），利用轴对称的性质正确找出折线的最小长度是解题关键．

【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ 中，

（1）如图1，点E 为的中点，连并延长到点F，使 = ，则与的数量关系是________．

（2）如图2，若 = ，点E 为边一点，过点C 作的垂线交的延长线于点D，连接，若∠ = ∠，求证： = ．

（3）如图3，点D 在△ 内部，且满足 = ，∠ = ∠，点M 在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N 为的中点，求证： = ．

【答案】（1） = ；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）通过证明△ ≌ △ ，即可求解；

（2）过点A 引 ∥ 交于点F，通过△ ≌ △ 得到 = ，再通过△ ≌ △ 即可求解；

（3）过点作 ∥ 交的延长线于点， ∥ ，在上取一点，使得 = ，连接，利用全等三角形的性质证明 = 、 = ，即可解决．

【详解】证明：（1） = ，由题意可得： = ，在△ 和△ 中

∴ =

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

【例3】．（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边上任意点，AF 平分∠EAD，交CD 于点F．

(1)如图1，若点F 恰好为CD 中点，求证：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的条件下，求/的值；

(3)如图2，延长AF 交BC 的延长线于点G，延长AE 交DC 的延长线于点H，连接HG，当CG=DF 时，求证：HG⊥AG．

【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起， = , = ,∠ = ∠ = 90°，连接,．

（1）如图1,若、、三点在同一条直线上，则与的关系是；

（2）如图2，若、、三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想、、之间的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．

【答案】（1） = 且 ⊥ ；（2） = + 2；证明见解析；（3） = 2且 ⊥ ．

【分析】（1）根据题意利用全等三角形的判定与性质以及延长AC 交BD 于点C’进行角的等量代换进行分析即可；

（2）根据题意在上截取 = ,连接，并全等三角形的判定证明≅和≅，进而利用勾股定理得出2 +2 = 2进行分析求解即可；

（3）过点B 作BM∥OC，交OF 的延长线于点M，延长FO 交AD 于点N，证明ΔBFM≅ΔCFO，ΔAOD≅ΔOBM，进而即可得到结论．