當遇見中線或者中點的時候，可以嘗試倍長中線或類中線，構造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進行轉移．

如圖①，AD 是△ABC 的中線，延長 AD 至點 E 使 DE＝AD，易證：△ADC≌△EDB（SAS）．

如圖②，D 是 BC 中點，延長 FD 至點 E 使 DE＝FD，易證：△FDB≌△EDC（SAS）

經典例題

【例1】．（2020·陝西咸陽·一模）問題提出

（1）如圖，是△ 的中線，則 + __________2；（填“ > ”“ < ”或“ = ”）

問題探究

（2）如圖，在矩形中， = 3, = 4，點爲的中點，點爲上任意一點，當△ 的周長最小時，求的長；

問題解決

（3）如圖，在矩形中， = 4, = 2，點爲對角線的中點，點爲上任意一點，點爲上任意一點，連接、、，是否存在這樣的點，使折線的長度最小？若存在，請確定點的位置，並求出折線的最小長度；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）＞；（2） = 1；（3）當點與的中點重合時，折線的長度最小，最小長度爲4．

【分析】（1）如圖（見解析），先根據三角形全等的判定定理與性質得出 = ，再根據三角形的三邊關係定理即可得；

（2）如圖（見解析），先根據矩形的性質得出 = 3,∠ = ∠ = 90°,//，從而可得AE 的長，再根據三角形的周長公式、兩點之間線段最短得出△ 的周長最小時，點F 的位置，然後利用相似三角形的判定與性質即可得；

（3）如圖（見解析），先根據軸對稱性質、兩點之間線段最短得出折線的長度最小時，′,,,′四點共線，再利用直角三角形的性質、矩形的性質得出∠ = 30°， = 2 3， = 2，然後利用軸對稱的性質、角的和差可得′ = 2 3,′ = 2，∠′′ = 90°。由此利用勾股定理可求出′′的長，即折線的最小長度。

設′′交於點′，根據等邊三角形的判定與性質可得′ = 2，從而可得′ = ，由此即可得折線的長度最小時，點Q 的位置．

【點睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質、軸對稱的性質、相似三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質等知識點，較難的是題（3），利用軸對稱的性質正確找出折線的最小長度是解題關鍵．

【例2】．（2021·湖北武漢·八年級期中）已知△ 中，

（1）如圖1，點E 爲的中點，連並延長到點F，使 = ，則與的數量關係是________．

（2）如圖2，若 = ，點E 爲邊一點，過點C 作的垂線交的延長線於點D，連接，若∠ = ∠，求證： = ．

（3）如圖3，點D 在△ 內部，且滿足 = ，∠ = ∠，點M 在的延長線上，連交的延長線於點N，若點N 爲的中點，求證： = ．

【答案】（1） = ；（2）見解析；（3）見解析

【分析】（1）通過證明△ ≌ △ ，即可求解；

（2）過點A 引 ∥ 交於點F，通過△ ≌ △ 得到 = ，再通過△ ≌ △ 即可求解；

（3）過點作 ∥ 交的延長線於點， ∥ ，在上取一點，使得 = ，連接，利用全等三角形的性質證明 = 、 = ，即可解決．

【詳解】證明：（1） = ，由題意可得： = ，在△ 和△ 中

∴ =

【點睛】本題屬於三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．

【例3】．（2020·安徽合肥·二模）如圖，正方形ABCD 中，E 爲BC 邊上任意點，AF 平分∠EAD，交CD 於點F．

(1)如圖1，若點F 恰好爲CD 中點，求證：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的條件下，求/的值；

(3)如圖2，延長AF 交BC 的延長線於點G，延長AE 交DC 的延長線於點H，連接HG，當CG=DF 時，求證：HG⊥AG．

【例4】．（2020·江西宜春·一模）將一大、一小兩個等腰直角三角形拼在一起， = , = ,∠ = ∠ = 90°，連接,．

（1）如圖1,若、、三點在同一條直線上，則與的關係是；

（2）如圖2，若、、三點不在同一條直線上,與相交於點，連接,猜想、、之間的數量關係，並給予證明；

（3）如圖3，在(2)的條件下作的中點,連接，直接寫出與之間的關係．

【答案】（1） = 且 ⊥ ；（2） = + 2；證明見解析；（3） = 2且 ⊥ ．

【分析】（1）根據題意利用全等三角形的判定與性質以及延長AC 交BD 於點C’進行角的等量代換進行分析即可；

（2）根據題意在上截取 = ,連接，並全等三角形的判定證明≅和≅，進而利用勾股定理得出2 +2 = 2進行分析求解即可；

（3）過點B 作BM∥OC，交OF 的延長線於點M，延長FO 交AD 於點N，證明ΔBFM≅ΔCFO，ΔAOD≅ΔOBM，進而即可得到結論．