網絡是個好東西，不管身在天南地北，只要志同道同就能聚在一起。不知不覺中，我已經加入了上百個與教學有關的羣組，和很多志趣相投的同行在一起學習交流。

羣裏探討解題時，不少老師問：學生才能讓學生想到這樣的解題方法？

知識可以分三類：陳述性知識、程序性知識、條件性知識。

陳述性知識是結論和事實，解決“是什麼”的問題。

程序性知識是方法和流程，解決“怎麼做”的問題。

條件性知識是知道在何情境下選擇應用何種知識，解決“怎麼知道怎麼做”的問題。

條件性知識與元認知密切相關，是一種複雜的心理過程。這方面研究不多，但很重要，因爲它決定所學的知識是死的，還是活的。沒有條件性知識，所掌握的知識就不能被有效應用，變成廢料。

老師在教學中不僅要教陳述性知識和程序性知識，還要教給學生條件性知識，否則就會出現“教懂了卻不會用”的現象。

有的老師像魔術師，“大變活人”之類的漂亮魔術看上去很神奇，但是觀衆永遠學不會。

老師要做的不是“魔術表演”，而應該是“魔術揭密”和“魔術訓練”。這樣，人人都是魔術師，魔術不再神奇，而是人人可掌握的技術。

不管是知識教學還是解題教學，老師都要教“學習方法”和“思考方式”，讓學生“會學習”、“會思考”，這樣才能“會恰當地選擇運用知識和方法解決問題”，也就是掌握條件性知識。

比如教學“平行線的性質”時，要讓學生了解和體驗到“在需要把角進行等量轉化時可以運用平行線的性質定理和構造平行線的方法”，這就是條件性知識，掌握這一點，在以後證明三角形內角和定理時，便不難想到要構造平行線。

解題教學更是如此，當一條輔助線毫無徵兆地從天而降時，指望學生把這種方法遷移到其它情境中幾乎是不可能的。

因爲老師的腦中儲存了太多的關於題目及其方法的記憶，老師的解題動作成了條件反射，但是在學生眼中，它是沒來由的孤立事件，是難以理解的天外來客。

實際上，即使是老師，往往也沒能釐清如何思考問題的來龍去脈，如何在陌生情境下自然順暢地得到解題思路，老師之所以會解題方法有時也是記憶的結果，這就需要解完題後進行再反思，找到題目與解法之間的邏輯聯繫。

有時候，經驗豐富的解題者可以瞬間發現解題的思路與方法，自己也搞不清楚到底是大量做題留下的直覺反應還是掌握瞭解題的內在邏輯。

對於人文學科，往往依賴靈感和直覺，可以“本章本天成，妙手偶得之”，但對於數理學科來說，依靠靈感和直覺就不行了，要更多地依賴邏輯和推理，因爲邏輯是可表達、可重複、準確嚴謹的，具有最廣泛的可遷移性。數學可以根據公式和定理進行計算推理，沒聽說過寫詩作曲有什麼公式和定理，但現實中就有把理科當文科教或把文科當理科教，造成了教學的低效、無效甚至負效應。

解題教學是數學教育的重要組成部分，解題就是人的思維對題目的條件信息與所學的知識方法進行聯繫、加工、處理，從而得到所求結論或推理過程。條件信息在題目中，知識方法在頭腦中，題目所呈現的條件信息是多種多樣的，但所用知識方法始終在一定範圍內，所以解題時要做的一件重要事情是：對信息進行辨別、判斷、轉化，使之與對應的知識與方法產生聯結。這也就是我們所總結的思維方法與解題策略，實質就是條件性知識，它可以告訴學生在什麼樣的情境下選擇什麼樣的知識與方法解決問題，下面以一道中考題爲例探討一下解題教學中關於條件性知識的提煉及訓練。

例題（2018樂山卷）.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D、E分別在BC、AC邊上，連結BE、AD交於點P，設AC=kBD，CD=kAE，k爲常數，試探究∠APE的度數：

(1)如圖1，若k=1，則∠APE的度數爲__________；

分析：

①條件出發：“AC=kBD，CD=kAE”轉化爲：AC:BD=CD:AE=k。

②觀察聯想：由比例線段想到尋找或構造相似形（k=1時全等），AC與CD組合成ΔACD，但BD與AE不在同一個三角形中。

③猜測推理：由AC與BD夾角爲90度，CD與AE夾角爲90度，兩組對應邊夾角都爲90度，推知兩個全等三角形是旋轉90度的位置關係。

④完形構造：將ΔACD旋轉90度並平移至適當位置，構造全等三角形，如下圖所示：

上面四種構造所達到的效果是相同的，都出現了一對全等三角形、一個等腰直角三角形和一個平行四邊形，四種方法的內在邏輯是一致的，即通過運動變換把分散的條件集中，形成關係明確的特殊圖形，從而進一步推理計算使問題得以解決。這裏涉及的陳述性知識是全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定和性質，程序性知識是對圖形的旋轉、平移操作，僅此並不足以解決問題，還要知道什麼時候需要用旋轉、平移的方式構造全等，即使用全等和變換的條件性知識：題中有邊角相等關係，若只有一個確定三角形，則可把它進行運動變換得到另一個三角形；若相關線段分散不在同一三角形中，則應通過變換操作使其集中於同一三角形中。

上面的構造也可以看成：將線段AE平移至BD處組合成與ΔACD全等的三角形，如下圖。

(2)如圖2，若k=√3，試問(1)中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出∠APE的度數．

分析：有了解決題(1)的方法，題(2)的思考邏輯和解題策略完全相同，僅把全等變爲相似，變換方式爲“旋轉+縮放”，把ΔACD旋轉90度並按1:√3縮放，再平移至合適位置如下圖：

同樣可以換個角度看，把AE平移至BD處組合成與ΔACD相似的三角形，得到一對1:√3的相似三角形、一個直角邊爲1:√3的RtΔADF和一個平行四邊形AEBF，再得∠APE=∠DAF=30°。

(3)如圖3，若k=√3，且D、E分別在CB、CA的延長線上，(2)中的結論是否成立，請說明理由．

分析：表面形式變化，本質關係不變，解決方法一以貫之，用移花接木策略遷移前面的方法即可。

可以發現，本題更爲一般的結論是：cot∠APE=k。

回顧這個問題的解決，包含了哪些條件性知識？

1.邊角相等（比例）關係較多時用全等（相似）。

2.可以由相關線段和角回溯需證的全等（相似）三角形。

3.條件信息分散可用運動變換使之集中以產生特殊圖形和關係。

4.外在形式變化，內在關係不變，則解題方法不變，所得結論相似。

這種條件性知識能夠幫助解決一類相關問題，具有廣泛的適用性和可遷移性，掌握這種知識才可以真正提升解決問題的能力。當然，這種知識不能由老師直接教授而獲得，需要經歷一個理解、感悟、驗證、訓練的過程，老師也要適時引導、點撥、揭示、強化，這樣才能掌握條件性知識，做到在恰當的時機應用恰當的知識採取恰當的行動，也就是在“該想到”的時候“能想到”。