【費馬點解析】

“費馬點”是指位於三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點。

【換言之：若給定一個△ABC，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點的距離之和都要小。這個特殊點對於每一個給定的三角形有且只有一個。】

那麼，如何找尋費馬點呢？

【費馬點的找法】

一、以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然後把外面的三個頂點與原三角形的相對頂點相連，交於點P，點P就是原三角形的費馬點；

二、以△ABC的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在△ABC內部交於點P，點P就是原三角形的費馬點；

若三角形有一內角大於或等於120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點；當△ABC爲等邊三角形時,此時內心與費馬點重合 。

【費馬點的主要性質】

1、費馬點到三角形三個頂點的距離和最小；

2、費馬點與三角形的三個頂點的連線夾角皆爲120°。

【費馬點證明】—通過旋轉來解決

將△ABP繞着點B逆時針旋轉60°，得到△A'BP'，連接PP'。

那麼PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C

所以，A'、P'、P、C四點共線時，值最小，

根據等邊△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那麼∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可證明：費馬點與三角形的三個頂點的連線夾角皆爲120°。

【例題講解】

【解析】

以AB、BP爲邊分別作等邊三角形，那麼BP=PP'；可證明△ABP和△A'BP'全等，將AP轉爲A'P'，那麼只要A'、P'、P、C四點共線即可；

其實我們在圖二中，連接AC，就可以看出上述的模型。

在求解最小值方面，小編給出兩種方法，第一種方法，連接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那麼解直角三角形即可；第二種方法，藉助等腰△A'BC和15°角，構造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜邊長度。

【延伸】如果給出AP+BP+CP的最小值，求正方形邊長呢？

在上述兩種方法下，你是否能算出來呢？