知否 | 1爲什麼等於0.99999....

作者 | 平章

出品 | 網易科技《知否》欄目組

0.99999...=1

初一看，這個等式貌似不會成立，0.9999....給人的第一感覺該是無限接近於1、但應該比1小。

這其實是一個被反覆提起的數學問題，尤其是在中國各大網絡社區中。接下來的問題是：這個等式爲什麼成立？在什麼情況下能成立？如何證明它？

首先，我們來看看網上流傳的三種證明法。

最簡單的三種……

直接來看看這三種證明吧：

1、∵1/3=0.33333...

3X0.33333..=0.99999...

3X1/3=1

∴0.99999...=1

2、令0.99999...爲A

10A=10X0.99999...=9.9999...

兩邊都減去一個A

9A=9.99999...-0.99999...

可以得出：9A=9

兩邊除以9得出：A=1

∴0.99999...=1

3、0.99999...=0.9+0.09+0.009+0.0009……

很明顯，右側是一個求和的無窮遞降等比數列。

回憶一下等比數列求和公式：Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

而當n趨向於無窮大時，求和公式S=a1/(1-q)

∴0.99999...=0.9/（1-0.1）=0.9/0.9=1

當然，這三種方式都不嚴謹，只是爲了便於讓大家理解。例如，第二種方式就是大衛·福斯特·華萊士在他的《Everything and More》一書中給出的。

這個方法迅速被打臉。數學家威廉姆斯·拜爾在《How Mathematicians Think》中評價這個證明：“0.999... 既可以代表把無限個分數加起來的過程，也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把0.999... 看作一個過程，但是1是一個數，過程怎麼會等於一個數呢？這就是數學中的二義性？他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生，可能還沒有真正懂得無限小數的含義，更不用說理解這個等式的意義了。

至於靠譜的證明法，由於實在是超綱太多，我就不一一說了（我會告訴你，那些證明過程我看了很懵、完全木有看懂嗎？）

不過說起來，第三個方法中其實已經用到了極限，所以要理解這個等式，需要先了解下極限。

什麼是極限？

百度百科的解釋，“極限”是數學中的分支——微積分的基礎概念，廣義的“極限”是指“無限靠近而永遠不能到達”的意思。

數學中的“極限”指：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而“永遠不能夠重合到A”（“永遠不能夠等於A，但是取等於A已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人爲規定爲“永遠靠近而不停止”、其有一個“不斷地極爲靠近A點的趨勢”。極限是一種“變化狀態”的描述。此變量永遠趨近的值A叫做“極限值”（當然也可以用其他符號表示）。