美籍匈牙利数学教育家G．波利亚在《怎样解题》中指出："当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长，也许就能发现一堆蘑菇．" 茫茫题海有时需要通过一朵蘑菇，能发现成堆的蘑菇的思维能力。通常有太多的题目与当前的题目有某些相关，即与其有一些共同点。怎样从中选出一个或几个确实有用的题目呢？波利亚建议：观察未知量！并尽量想出一道我们所熟悉的具有相同或相似未知量的题目。

G·波利亚—解题四步骤简述

下面举例说明一个不等关系的探究及且应用来说明这一常用探究问题思路的应用特色。

问题探究：

●计算

当a＝6，b＝4时，(a+b)/2与√ab的大小关系是 ______．

当a＝5，b＝5时，(a+b)/2与√ab的大小关系是_________ ．

●探究

如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，点C为圆O上一动点（不与点A、B重合），过C作CD⊥AB于D，设AD＝a，BD＝b．

①则线段OC＝_________ ，OD＝_________ （分别用a，b表示）；

②则OC与CD表达式之间存在的关系是___________ （用含a，b的式子表示）．

●归纳

根据上面的观察、探究，则(a+b)/2与√ab的大小关系是：_________________ ．

我们可作如下探讨：通过计算：把a和b的值代入计算即可得到(a+b)/2与√ab的大小关系；

当a＝6，b＝4时，(a+b)/2＝5，√ab＝√24，由于√25＞√24，则(a+b)/2＞√ab；当a＝5，b＝5时，(a+b)/2＝5，√ab＝√25＝5，所以(a+b)/2＝√ab；

严密证明：当a＞0，b＞0时，a＝（√a）²，b＝（√b）²则（√a﹣√b）2＝（√a）²﹣2√ab+（√b）²＝a+b﹣2√ab≥0，

探究：易得OC＝(a+b)/2，再通过证明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD＝√ab，根据直角边与斜边的关系得OC≥CD（当C点为半圆AB的中点时取等号），所以(a+b)/2≥√ab；

归纳：利用上面的计算和证明的结果可推出(a+b)/2≥√ab（a＝b时取等号）；

不等式(a+b)/2≥√ab（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号成立．其中我们把(a+b)/2叫做正数a、b的算术平均数，√ab叫做正数a、b的几何平均数，

上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．

例2.要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．

【解答】 设长方形的两边分别为a、b，则ab＝1，

∵(a+b)/2≥√ab，∴(a+b)/2≥1，即a+b≥1，∴2（a+b）≥2，

∴镜框周长的最小值为2．

例3.（1）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为100m²的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？

（2）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．

（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，

把P（3，4）代入得：4＝3k+b，整理得：b＝4﹣3k，

∴直线AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，

总结：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．当我们遇到一个与已经解决问题相关的新问题的时候，不是急着入手，而是仿照已解决的问题的解决方法来研究，考察其解法的相似性，可以帮助我们事半功倍。