美籍匈牙利數學教育家G．波利亞在《怎樣解題》中指出："當你找到第一個蘑菇或作出第一個發現後，再四處看看，他們總是成羣生長，也許就能發現一堆蘑菇．" 茫茫題海有時需要通過一朵蘑菇，能發現成堆的蘑菇的思維能力。通常有太多的題目與當前的題目有某些相關，即與其有一些共同點。怎樣從中選出一個或幾個確實有用的題目呢？波利亞建議：觀察未知量！並儘量想出一道我們所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。

G·波利亞—解題四步驟簡述

下面舉例說明一個不等關係的探究及且應用來說明這一常用探究問題思路的應用特色。

問題探究：

●計算

當a＝6，b＝4時，(a+b)/2與√ab的大小關係是 ______．

當a＝5，b＝5時，(a+b)/2與√ab的大小關係是_________ ．

●探究

如圖所示，△ABC爲圓O的內接三角形，AB爲直徑，點C爲圓O上一動點（不與點A、B重合），過C作CD⊥AB於D，設AD＝a，BD＝b．

①則線段OC＝_________ ，OD＝_________ （分別用a，b表示）；

②則OC與CD表達式之間存在的關係是___________ （用含a，b的式子表示）．

●歸納

根據上面的觀察、探究，則(a+b)/2與√ab的大小關係是：_________________ ．

我們可作如下探討：通過計算：把a和b的值代入計算即可得到(a+b)/2與√ab的大小關係；

當a＝6，b＝4時，(a+b)/2＝5，√ab＝√24，由於√25＞√24，則(a+b)/2＞√ab；當a＝5，b＝5時，(a+b)/2＝5，√ab＝√25＝5，所以(a+b)/2＝√ab；

嚴密證明：當a＞0，b＞0時，a＝（√a）²，b＝（√b）²則（√a﹣√b）2＝（√a）²﹣2√ab+（√b）²＝a+b﹣2√ab≥0，

探究：易得OC＝(a+b)/2，再通過證明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD＝√ab，根據直角邊與斜邊的關係得OC≥CD（當C點爲半圓AB的中點時取等號），所以(a+b)/2≥√ab；

歸納：利用上面的計算和證明的結果可推出(a+b)/2≥√ab（a＝b時取等號）；

不等式(a+b)/2≥√ab（a＞0，b＞0），當且僅當a＝b時，等號成立．其中我們把(a+b)/2叫做正數a、b的算術平均數，√ab叫做正數a、b的幾何平均數，

上述不等式可表述爲：兩個正數的算術平均數不小於（即大於或等於）它們的幾何平均數．它在數學中有廣泛的應用，是解決最值問題的有力工具．

例2.要製作面積爲1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值．

【解答】 設長方形的兩邊分別爲a、b，則ab＝1，

∵(a+b)/2≥√ab，∴(a+b)/2≥1，即a+b≥1，∴2（a+b）≥2，

∴鏡框周長的最小值爲2．

例3.（1）學校準備以圍牆一面爲斜邊，用柵欄爲成一個面積爲100m²的直角三角形，作爲英語角，直角三角形的兩直角邊各爲多少時，所用柵欄最短？

（2）如圖，在直角座標系中，直線AB經點P（3，4），與座標軸正半軸相交於A，B兩點，當△AOB的面積最小時，求△AOB的內切圓的半徑．

（2）設直線AB的解析式是y＝kx+b，

把P（3，4）代入得：4＝3k+b，整理得：b＝4﹣3k，

∴直線AB的解析式是y＝kx+4﹣3k，

總結：從一個簡單的經典問題出發，從特殊到一般，由簡單到複雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發展的重要途徑，是思想閥門發現新問題、新結論的重要方法．當我們遇到一個與已經解決問題相關的新問題的時候，不是急着入手，而是仿照已解決的問題的解決方法來研究，考察其解法的相似性，可以幫助我們事半功倍。