一、什麼是樹

客觀世界中許多事物存在層次關係

  • 人類社會家譜
  • 社會組織結構
  • 圖書信息管理

其中， 人類社會家譜 如下圖所示：

通過上述所說的分層次組織，能夠使我們在數據的管理上有更高的效率！那麼，對於數據管理的基本操作——查找，我們如何實現 有效率的查找 呢？

二、查找

查找： 根據某個給定 關鍵字K ，從 集合R 中找出關鍵字與 K 相同的記錄

靜態查找： 集合中 記錄是固定的 ，即對集合的操作沒有插入和刪除，只有查找

動態查找： 集合中 記錄是動態變化的 ，即對集合的操作既有查找，還可能發生插入和刪除（ 動態查找不在我們考慮範圍內 ）

2.1 靜態查找

2.1.1 方法1：順序查找

/* c語言實現 */

int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查找關鍵字爲K的數據元素
  int i;
  Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵，即沒找到可以返回哨兵的索引0表示未找到
  for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查找成功返回所在單元下標；不成功放回0
  return i;
}

順序查找算法的時間複雜度爲 O(n)

2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）

假設n個數據元素的關鍵字滿足有序（比如： 小到大 ），即 \(k_1<k_2<\cdots<k_n\) ，並且是連續存放（ 數組 ），那麼可以進行二分查找。

例：假設有13個數據元素，按關鍵字由小到大順序存放。二分查找關鍵字爲 444 的數據元素過程如下圖：

仍然以上面13個數據元素構成的有序線性表爲例，二分查找關鍵字爲 43 的數據元素如下圖： 

/* c語言實現 */

int BinarySearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
  // 在表中Tbl中查找關鍵字爲K的數據元素
  int left, right, mid, NoFound = -1;
  
  left = 1; // 初始左邊界
  right = Tbl->Length; // 初始右邊界
  while (left <= right)
  {
    mid = (left + right) / 2; // 計算中間元素座標
    if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 調整右邊界
    else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 調整左邊界
    else return mid; // 查找成功，返回數據元素的下標
  }
  return NotFound; // 查找不成功，返回-1
}

二分查找算法具有對數的時間複雜度 O(logN)

二分查找算法雖然解決了查找的時間複雜度問題，但是對於數據的插入和刪除確是O(n)的，因此有沒有一種數據結構，既可以減少數據查找的時間複雜度，又可以 減少數據的插入和刪除的複雜度 呢？

三、二分查找判定樹

除了使用上述兩個方法進行關鍵字的查找，我們還可以通過二叉樹這種數據結構完成關鍵字的查找。

從上圖可以看出，如果我們需要尋找數字8，可以通過以下4步實現（ 可能看不懂，未來會看得懂 ）：

  1. 根節點6小於8，往6的右子節點9找
  2. 結點9大於8，往9的左子結點7找
  3. 結點7小於8，往7的左子結點找
  4. 找到8
  • 判定樹上每個 結點 需要的查找次數剛好爲該結點所在的層數；
  • 查找成功時 查找次數 不會超過判定樹的 深度
  • N個結點的判定樹的深度爲 \([log_2{n}]+1\)
  • \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\)

四、樹的定義

樹（Tree）： \(n(n\geq{0})\) 個結點構成的有限集合。

  • 當n=0時，稱爲空樹
  • 對於任一顆 非空樹（n>0） ，它具備以下性質：
    • 樹中有一個稱爲 根（Root） 的特殊結點，用 r 表示
    • 其餘結點可分爲 m（m>0） 個 互不相交的 有限集 \(T_1,T_2,\cdots,T_m\) ，其中每個集合本身又是一棵樹，稱爲原來樹的 子樹（SubTree）

五、樹與非樹

牢記樹有以下3個特性：

  1. 子樹是 不相交 的；
  2. 除了根結點外， 每個結點有且僅有一個父結點 ；
  3. 一顆N個結點的樹有 N-1條邊

5.1 非樹

5.2 樹

六、樹的一些基本術語

  1. 結點的度（Degree）： 結點的 子樹個數
  2. 樹的度： 樹的所有結點中最大的度數
  3. 葉結點（Leaf）： 度爲0 的結點
  4. 父結點（Parent）： 有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點
  5. 子結點（Child）： 若A結點是B結點的父結點，則稱B結點是A結點的子結點；子結點也稱 孩子結點

  6. 兄弟結點（Sibling）： 具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點

  7. 路徑和路徑長度： 從結點 \(n_1\) 到 \(n_k\) 的 路徑 爲一個結點序列 \(n_1 , n_2 ,\cdots, n_k\) , \(n_i\) 是 \(n_{i+1}\) 的父結點。路徑所包含邊的個數爲 路徑的長度

  8. 祖先結點(Ancestor)： 沿 樹根到某一結點路徑 上的所有結點都是這個結點的祖先結點

  9. 子孫結點(Descendant)： 某一結點的 子樹中的所有結點 是這個結點的子孫

  10. 結點的層次（Level）： 規定 根結點在1層 ，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1

  11. 樹的深度（Depth）： 樹中所有結點中的 最大層次 是這棵樹的深度

七、樹的表示

7.1 樹的鏈表表示

上圖所示樹的鏈表表示法有很大的缺陷，假設樹的深度非常大，並且不能保證所有樹的子結點都有3個，那麼會造成很大程度的浪費。

7.2 樹的鏈表（兒子-兄弟）表示法

爲了解決樹的普通鏈表表示會有空間的浪費的缺陷，我們可以把鏈表的指針設置兩個鏈接，一個鏈接指向兒子結點，另一個鏈接指向兄弟結點，如下圖所示：

上圖所示的樹的表示方法，已經足夠完美了，但是如果我們把鏈表表示的樹 旋轉45°角 ，會發現如下圖所示：

經過45°角的旋轉，我們會發現一顆二叉樹（一個結點至多擁有2個子結點的樹），也就是說 最普通的樹其實可以通過二叉樹表示 ，也就是說 我們只要把二叉樹研究透了，我們即研究透了樹 。

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