【試題2】如圖，將面積爲32√2的矩形ABCD沿對角線BD摺疊，點A的對應點爲點P，連接AP交BC於點E．若BE＝√2，則AP的長爲____．

【圖文解析】

 設AB＝a，由矩形ABCD的面積爲32√2，可得AD＝32√2/a.由摺疊△ABD可得AP＝2AF，同時又有：（如下圖示）

同時不難得到：∠1＝∠2.

分別在直角△ABD和直角△ABE中，有tan∠1＝BE/AB＝AB/AD＝tan∠2，得到AB²＝AD×BE，即a²=√2×32√2/a＝64/a，得到a³=64，所以AB＝a=4，進一步得AD＝32√2/a=8√2.

  如下圖示，在直角△ABD中，由勾股定理得AB＝12，又由於AF⊥BD於F，由三角形面積公式不難求出AF的長.

  由S_△ABD＝0.5AD×AB＝0.5BD×AF，得AF＝AD×AB/BD＝…＝8√2/3，得到AP＝16√2/3.

【拓展延伸】

 如圖，將面積爲32√2的矩形ABCD沿對角線BD摺疊，點A的對應點爲點P，連接AP交BC於點E．若BE＝√2，若PD與BC相交於G，則CG的長爲____．

答案：CG=7√2/2.

【試題3】對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE摺疊，使點B落在CD邊上(如圖①)，再沿CH摺疊，這時發現點E恰好與點D重合(如圖②).

(1)根據以上操作和發現，求CD/AD的值；

(2)將該矩形紙片展開.

       ①如圖③，摺疊該矩形紙片，使點C與點H重合，摺痕與AB相交於點P，再將該矩形紙片展開.求證：∠HPC=90°.

       ②不借助工具，利用圖④探索一種新的摺疊方法，找出與圖③中位置相同的點，要求只有一條摺痕，且點P在摺痕上.請簡要說明摺疊方法.(不需說明理由) 

【題幹精析】

【圖文精解】

 （3）由（2）的分析可知，AP＝BE＝BC=AD，則有以下兩種方法：

①如下圖，將矩形ABCD沿過點C的直線摺疊，使點B的對應點B′落在CE上，則摺痕與AB的交點即爲點P；

②如下圖示，將矩形ABCD沿過點D的直線摺疊，使點A的對應點A′落在DC上，則摺痕與AB的交點即爲點P．

【方法精點】

1．由圖形的摺疊可以得到相等的線段與相等的角，摺疊前後的對應點的連線與摺痕所在直線是垂直平分關係．

2．∠HPC=90°的證明，是先計算出與∠HPC相關的三角形的三邊，再利用勾股定理的逆定理進行證明．

【拓展精深】

如圖，在Rt△ABC的紙片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D在邊BC上．以AD爲摺痕將△ABD摺疊到△AB’D，AB’與邊AC交於點E．若△DEB’爲直角三角形，則BD的長是多少？

【答案或提示】BD=5或BD=2．

【試題4】如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E爲線段AB上的動點，將△CBE沿CE摺疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是                （寫出所有正確結論的序號）

①當E爲線段AB中點時，AF∥CE;

②當E爲線段AB中點時，AF=9/5;

③當A、F、C三點共線時，AE=（13-2√13）/3 ;

④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF，

【圖文解析】

（1）當E爲線段AB中點時，如下圖示：

根據三角形中位線定理，得AF∥CE.本結論正確.

（2）由（1）可進一步得到：AF＝2EG．

而EG可在最基本的圖形——子母直角三角形中易求得，如下圖示：

由勾股定理，可得CE＝…＝2.5．

分別在Rt△EBC和Rt△BEG中，由三角函數的定義有：cos∠1＝EG/BE=BE/CE＝1.5/2.5＝3/5，所以EG＝BE×cos∠1＝1.5×3/5＝0.9.

       可得到AF＝2EG＝1.8＝9/5．因此本選項正確.

（4）當A、F、C三點共線時，由（3）知：AF≠CF，AE≠CE，所以△CEF與△AEF不全等，故④錯誤.

【拓展延伸】本題條件不改變的情況下．當AE爲何值時，D、F、E三點在同一直線上？

答案：AE＝√5．