矩形與動態問題（2）——中考備考系列[尖子生之路]
說明：
2.2019年中考數學答題需提前訓練與適應的幾點建議(同樣適用於平時的期中期末月考等考試）
3.如果你想學幾何畫板，請關注本公衆號,進入後,輸入'1',即可獲得本人錄製的622分鐘免費視頻教程觀看地址.
4.本人主編或編著的書的購買途徑：掃描文章末尾的“微店”二維碼，即可進店購買，如有團購可直接聯繫或留言“客服”！
5.輸入'搜索文章'可得到如何快速查找本公衆號的文章（如同百度搜索，方便快捷！）……
矩形與動態問題（2）
——中考備考系列
【試題5】如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E爲線段AB上的動點，將△CBE沿CE摺疊，使點B落在矩形內點F處，下列結論正確的是______（寫出所有正確結論的序號）.
①當E爲線段AB中點時，AF∥CE;
②當E爲線段AB中點時，AF=9/5;
③當A、F、C三點共線時，AE= AE=(13 – 2√13)/3 ;
④當A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF.
【圖文簡析】
①、②當E爲線段AB中點時，連接BE，根據摺疊的性質，BF垂直平分CE，如下圖示：
根據三角形的中位線定理，不難得到AF∥CE.所以①正確.
同時還可得到AF＝2EM，分別在Rt△BCE和Rt△BEM中，有：
所以EM＝BE2/CE＝…＝9/10.
因此AF＝2EM＝…＝9/5，故②正確.
③與④：當A、F、C三點共線時，不難得到AC＝√13，同時有：（如下圖示）
在Rt△AEF中，根據勾股定理，得：
(√13－2)2+(3-x)2=x2，
解得x=(13 –2√13)/3.
因此③正確.
因AF≠CF，所以△CEF與△AEF顯然不全等，故④不正確.
綜上所述，結論正確有①②③.
【拓展】在原有的條件下，當AE爲何值時，B、F、D三點在同一直線上？
答案：AE＝5/3.
【試題6】在直角座標系中，過原點O及點A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、連結OB，點D爲OB的中點，點E是線段AB上的動點，連結DE，作DF⊥DE，交OA於點F，連結EF．已知點E從A點出發，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間爲t秒．
（1）如圖1，當t=3時，求DF的長．
（2）如圖2，當點E在線段AB上移動的過程中，∠DEF的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值．
（3）連結AD，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比爲1：2時，求相應的t的值．
圖文解析：
（1）簡析：如下圖示：
（2）本題多種解法，僅提供兩種解法.
法一：如下圖示：
不難證明，A、E、E、F四點均在以EF的中點M爲圓心的圓上，所以∠DEF＝∠CAO＝定角，同時tan∠DEF＝tan∠CAO＝6/8＝3/4.
法二：如下圖示：
不難證明△DME≌△DNF，得DE：DF＝DN：DM＝3/4.又因DE⊥DF，從而∠DEF爲定值，同時tan∠DEF＝3/4.
（3）分兩種情況：
當S△DGE：S△DFG＝1：2時，如下圖示：
則EG:FG＝1:2，得FG:EF=2:3.
下圖示
進一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=2:3，從而GH＝2t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝8t/9.所以：
再把G點座標代入直線AC的解析式可求出t的值爲：t=75/41.
當S△DFG:S△DGE＝1:2時，如下圖示：
則EG:FG＝1:2，得FG:EF=1:3.進一步地，得到：GH：AE＝FG:EF=1:3，從而GH＝t/3，在△AGH中，AH＝GH/tan∠OAD＝GH/tan∠DEF＝4t/9.所以：
再把G點座標代入直線AC的解析式可求出t的值爲：t=75/17.
綜上所述，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比爲1：2時，t的值爲t=75/41或t=75/17.
（當然本題有相似的判定和性質來解，或者相結合，解法也類似，下面提供思路）
反思：本題是在矩形背景下，融入了座標與圖形性質、三角形中位線定理、三角形函數（相似三角形的判定與性質）、平行線分線段成比例定理、一次函數等知識；綜合性強，難度較大．
下面是本人主編或編著的書
(點擊書名，可閱讀相關書籍的編寫說明、目錄與樣章)
【試題7】如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連結BE，作點A關於BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD於點G，設AD：AE=n．
（1）求證：AE=GE；
（2）當點F落在AC上時，用含n的代數式表示AD：AB的值；
（3）若AD=4AB，且以點F，C，G爲頂點的三角形是直角三角形，求n的值．
【圖文解析】
（1）如下圖示：
由對稱知，AF=FE，得∠1=∠2，由GF⊥AF，得∠1+∠4=∠2+∠3=90°，根據等角的餘角相等，得∠3=∠4，進一步得到EG=EF，所以AE=EG.
（2）當點F落在AC上時，如下圖示：
分別在Rt△ABE和Rt△ACD中，根據三角函數的定義，可得：
tan∠1＝a:x=x:na=tan∠2.
（當然，本題也可以利用相似和勾股定理來解）.
（3）（注：因本題的圖因試題本身條件影響，整體圖形的長寬比值很大，在微信文中很難以正常比例完整顯示，所以作了縮放處理）
題目中有一個條件是：點F落在矩形ABCD的內部.而當F點落在BC邊上時，如下圖示：
進一步得到：4a/n=a，n=4，所以當點F落在矩形內部時，n＞4，同時∠FCG＜∠BCD＝90°，因此只有∠CFG=90°或∠CGF=90°兩種可能.
①當∠CFG=90°時，如下圖示，則點F落在AC上，由（2）得，
分別在Rt△ABE和Rt△CDG中，根據三角函數的定義，可得：
反思 注意此題中的第3小題中有一個“直角”的基本模型和常見的解題思路，同時本小題所涉及到的分類討論和方程思想，是解決綜合性問題的常用思路和技巧。
