在所有物理學家中，狄拉克擁有最純潔的靈魂。

——玻爾

（圖源：John Keogh/flickr.com）

撰文 | 張天蓉

那是1925年，玻恩和約爾當剛剛從海森堡的計算中得出了許多好結果，卻收到一個他不知道的年輕英國物理學家撰寫的論文副本。這人名叫保羅·狄拉克（Paul Dirac，1902-1984）。緊接着，狄拉克發表了他量子力學的第一篇論文，令玻恩驚訝的是，其中已經包含了比他和約爾當在文章中使用的更爲抽象的數學語言。

原來狄拉克是從海森堡得花粉熱後，去劍橋訪問時做的一個小型報告中得知矩陣力學的，狄拉克散步時，腦海中總在盤旋着海森堡那個奇怪的乘法規則：p×q≠q×p。並且聯想起了經典的泊松括號，與此不是很相似嗎？

所以，實際上，量子力學當初是由三套馬車拉着誕生的：海森堡、薛定諤、狄拉克。儘管當年，狄拉克的知名度似乎不如海森堡和薛定諤，但這個年輕的英國人很快就在量子江湖上嶄露頭角。

狄拉克“單位”

圖1. 沉默寡言的狄拉克（圖源：wikipedia）

狄拉克出生於英格蘭的布里斯托，他的風格是以精確和沉默寡言而著稱。你聽過“狄拉克單位”嗎？它不是狄拉克在物理學中的創造，而是當年劍橋大學的同事們描述狄拉克時所開的善意的玩笑，因爲他們將“1小時說一個字”定義爲1個“狄拉克單位”，來描述狄拉克的少言寡語。

狄拉克的母親是英國人，而父親是來自瑞士的移民。父親是一位法語教師，對家人嚴厲而專制，例如，他規定孩子們要說法語，使得家人之間交談極少，家中完全沒有了社交氣氛。父母加兄弟姐妹無言以對的場景，小狄拉克司空見慣，並且還以爲每個家庭都如此！狄拉克和哥哥費利克斯曾經同在一所大學學工程，兄弟倆街頭碰見擦肩而過也互不言語。直到後來，1925年，哥哥因抑鬱症自殺身亡，而引發了父母的極度悲傷，才第一次深深地觸動了狄拉克，方知不言不語的家人之間，心中尚有真情在！

狄拉克惜字如金的習慣，使他的文章形成特殊的風格：言簡意賅，沒有廢話。這點楊振寧先生在他的文章和演講中經常多次提到。楊先生在他的《物理學與美》的文章中說[1]，狄拉克的文章給人以“秋水文章不染塵”的感受……。在另一個場合，楊先生又用高適在《答侯少府》中的詩句：“性靈出萬象，風骨超常倫。”來描述狄拉克方程和反粒子理論。認爲狄拉克方程確實包羅萬象，而又能讓人感受到其中噴發而出的靈感。

狄拉克特別追求物理規律的數學美，比較科學和詩，他有一段精彩評論，令人聽後不由得莞爾一笑。他說：“科學是以簡單的方式去理解困難事物，而詩則是將簡單事物用無法理解的方式去表達，兩者是不相容的。”

海森堡與狄拉克個性迥異。海森堡喜歡社交，在晚會上經常與女孩子跳舞，狄拉克靜坐旁觀後，問海森堡爲何這麼喜歡跳舞。海森堡說：“和好女孩跳舞是件很愉快的事啊！”狄拉克聽後沉思無語，好幾分鐘之後冒出一句似乎與量子力學之“測量”以及“不確定性關係”有點關聯的話：“在未測試時，你如何能判定她是不是好女孩呢？”

圖2. 狄拉克和海森堡

狄拉克不僅言稀語少，文不染塵，性情品格也是超脫不羣，幾乎是一位獨一無二的“純潔”科學家！當他獲知自己贏得了1933年的諾貝爾物理獎時，對盧瑟福說，他不想出名，想拒絕這個獎。盧瑟福對他說：你如果拒絕了，更會出名，別人會不停地來麻煩你。聽了盧瑟福的話，狄拉克才欣然前往，在領獎典禮上作了一個“電子和正電子理論”的報告。

據說，英國皇室曾經冊封狄拉克爲騎士，可是狄拉克卻拒絕了，只因爲他不想讓自己名字加上一個前冠。

狄拉克是一個純粹的真正學者型人物，玻爾曾說：“在所有物理學家中，狄拉克擁有最純潔的靈魂。”他除了不說廢話之外，物質生活上也極爲簡單，不喝酒、不抽菸、只喝水，別無他求。其它方面的興趣也很少。最大的業餘興趣就是“散步” [2]。

狄拉克在散步中，散出了若干項成果，有數學的、物理的、工程的。即使就在量子力學範圍內，也有方程、有符號、有預言，可謂不勝枚舉。下面我們不按時間順序，先介紹一個簡單的。

狄拉克函數

學物理和工程的，大凡沒有不知道狄拉克δ函數的。如圖3所示， δ函數最爲簡單直觀的定義，是被如下兩點特性表述：

• 零點爲無窮大，其它都是零的實數變量函數；

• 整個函數在實數軸上積分爲1。

如將δ函數用在許多具體運算上，你會覺得它十分地好用，甚至會感到非常地美妙，讓你真切地體會到狄拉克本人無比欣賞的“數學之美”！舉一個狄拉克名言，以說明他對數學美的極端追求。在1963年《美國科學人》的一篇文章中，他寫出如此超凡脫俗的話：“使一個方程具有美感比使它去符合實驗更重要！”

圖3. 狄拉克δ函數

狄拉克是在發展量子力學的過程中使用狄拉克δ函數的。狄拉克形式地將泊松括號拆開，創造了表示量子態的著名的左矢、等“狄拉克符號”，並以此發展出一個漂亮的量子力學符號運算體系，最終導致馮·諾伊曼（von Neumann）提出用抽象的希爾伯特向量空間來構建量子理論的數學基礎。

事實上，狄拉克並不是第一個想到類似的δ函數，早在1827年，柯西就首次明確地寫過一個“無限高的單位脈衝函數”。狄拉克是爲了更爲方便地讓人們使用希爾伯特向量空間中的線性算子，將空間中的向量表示成特徵向量的線性組合。在他的《量子力學原理》一書中，第一次正式將δ函數寫成如今的形式。因此，後來大家就稱其爲狄拉克δ函數。

也許只有像狄拉克這樣集物理學家、數學家、工程師於一身的人，纔有膽量創造出來如此美妙的“函數”，以至於大大驚動了做數學的人們，不想承認這個不符合經典函數理論的怪異函數！不過，最終，δ函數在物理和工程中被衆人喜愛且被廣爲應用，成爲科學家和工程師們處理不連續情形時最強有力的工具。這時候，數學家們纔來緊跟着忙乎了一陣子，就此而讓它嚴格化，使它成爲了最早定義的“廣義函數”，並由此也幫助了數學家們，啓迪了泛函分析這個函數論發展中的重要分支。這個事實再一次證明了：物理學家“離經叛道”發明的數學工具，往往能夠出其不意地推動數學的發展。

據狄拉克自己聲稱，大學時代接受的工程教育對他的研究工作影響深遠，使他明白了做科學研究時要“容許近似”。近似的理論照樣表現出驚人的“數學美”，狄拉克-δ函數即爲一例。

狄拉克方程

1933年，狄拉克與薛定諤分享諾貝爾物理獎，因爲他們都爲量子力學建立了方程：狄拉克方程和薛定諤方程。

薛定諤一開始，是想搞一個相對論性的方程（即後來的克萊因—高登方程），但他沒成功。不過薛定諤很聰明，退而求其次，根據牛頓力學中能量-動量的關係，首先弄了個非相對論的方程，這就是著名的薛定諤方程。薛定諤方程在低能非相對論的條件下，居然還出奇地好用，解決了微觀世界的許多物理難題。

最終解決粒子的相對論性波動方程問題的是狄拉克。狄拉克方程又一次表現出這位天才學者追求的數學美，他將粒子的自旋內涵，自動地包括在方程中！

狄拉克想，如果從相對論經典粒子應該滿足的能量動量關係式出發：

P²c²+ m²c⁴= E²

將E和P換成量子力學中的微分算符的話，便得到下面方程：

這就是克萊因-戈登方程，但人們發現它實用價值不大，還會導致解釋不通的負幾率和負能量問題。這是爲什麼呢？狄拉克敏銳地感覺到，問題出在時間的二階微分上。狄拉克異想天開：爲什麼不將微分算符進行一個開方運算呢？

Sqrt（P²c²+ m²c⁴） = E

狄拉克還真就這麼“形式的”做了，於是便得到了著名的狄拉克方程：

狄拉克方程的優越性是將相對論和電子自旋自動地隱含其中。

狄拉克海

狄拉克對量子理論的貢獻可說是無與倫比。他在1925-1927年所做的一系列工作爲量子力學、量子場論、量子電動力學，及粒子物理奠定了基礎。

狄拉克喜歡單獨一人玩數學，擺弄方程式，量子力學在他神奇的手裏玩來玩去，最終被極爲美妙地數學化、形式化。他將衆物理學家們養大的這個“量子妖精”，用邏輯清晰，簡潔而奇妙的數學理論，裝扮成了一個清純美麗的天使。

狄拉克在1928年，發表了他的相對論性電子運動方程，即上面介紹的狄拉克方程，實現了量子力學和相對論的第一次綜合。這個方程不會像克萊因-戈登方程那樣，導致負數幾率的出現，並且與電子快速運動的實驗符合得很好，得到物理學界的認可。

狄拉克方程中，將旋量的概念引進量子力學，之前一年，泡利也曾經用“旋量”來解釋電子的自旋，但狄拉克通過狄拉克方程，更系統、更美妙地描述了電子這一個極其重要的內秉性質，充分體現出量子理論的“數學美”。

不過當時，狄拉克方程的解中，仍然有一個結果令狄拉克困惑。這點和克萊因-戈登方程一樣，會導致電子可以具有“負能量”狀態的荒謬結論。因爲如果存在這種狀態的話，所有的電子便都可以通過輻射光子向真空中這個最低能態躍遷，這樣一來，整個世界應該在很短的時間內毀滅。

爲了克服這一困難，狄拉克發揮了他天才的想象能力，他想象我們世界所謂的“真空”，已經被所有具有負能量的電子填滿了，只是偶爾出現一、兩個“空穴”。因爲最低能量態已經填滿了，電子便不可能躍遷，由此而避免了世界毀滅的結論。他給這個被負能量電子填滿了的真空，取名叫做狄拉克海（Dirac sea）。

狄拉克海中偶爾出現的“空穴”泡泡又是什麼呢？狄拉克說，那些空穴應該在所有方面，都具有和負能量的電子相反的性質，那就是說：一個“空穴”，應該是一個電荷爲正，能量爲正的粒子。如果我們世界中的正能量電子，碰到這樣的“空穴”，就會輻射光子而向這個偶然出現的負能量躍遷，最後結果是電子沒有了，空穴也沒有了，它們的能量轉換成了光子的能量。

說到這兒，很多讀者都想到了，這就是我們現在所說的：電子碰到正電子時，發生的“湮滅”現象，而“空穴”就是物理學家們後來稱之爲正電子的東西。

當時的狄拉克，也許只是爲了追求他的理論的數學美，而作出的能自圓其說的美麗假設。可沒想到，在1932年，從美國加州理工學院傳來一條令人喫驚的消息：卡爾·戴維·安德森（Carl David Anderson）在研究宇宙射線的雲室裏，發現了一種與狄拉克假設的“空穴”一模一樣的新粒子-正電子！這是人類第一次發現的反物質，

狄拉克的負能量電子海假設，預言了正電子，啓迪人們對其他反物質的設想，也導致科學家們對真空的重新思考。狄拉克海與反粒子預言是現代理論物理最高成就之一，這項成果來自於數學的力量，來自於狄拉克追求的數學美。

1970年，將近70歲的狄拉克受聘來到美國弗羅裏達州立大學，14年後，他長眠於弗羅裏達，留下他畢生追求的數學美照耀人間。

參考資料

[1] 楊振寧，《美與物理學》http://www.cuhk.edu.hk/ics/21c/media/articles/c040-199702001.pdf

[2] 張天蓉，狄拉克欣賞的數學美：http://www.sohu.com/a/120149335_224832

原標題：把玩數學狄拉克惜字如金 假設能海正電子預言成真

來源：賽先生

編輯：小林綠子

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