简介：什么是概率？

用数学术语概率来描述事件发生的可能性。例如，概率告诉我们是否在特定的一天下雨或有人赢彩票的机会。

事件发生的概率总是介于0和1之间，其中1表示绝对确定性，0表示完全不可能。

概率可以基本上以两种方式确定 -

1）理论上，2）经验。

理论（也称为经典）方法专门用于确定彩票，掷硬币等机会游戏的概率。

虽然经验（也称为观测）方法用于确定结果不能预先确定（事先决定）的事件的概率。

为了从数学上描述概率，我们需要下面讨论的几个基本要素：

样本空间

它是随机实验所有可能结果的集合。

例如，在六面掷骰实验中，样本空间S = {1,2,3,4,5,6}。

活动空间

它是一个元素（事件）是样本空间子集的集合。

例如，A = {1,2}是样本空间S的事件空间。这里A表示骰子投掷导致1或2的事件。

概率测度

概率测度P是衡量特定事件发生的可能性的函数。

例如，事件A发生在掷骰结果为1或2时，即6个可能中的2个。因此，A的概率测度P（A）= 2/6 = 1/3。

多变量的概率

联合概率

它用于同时表示多个变量的概率。

例如，假设我们关心一个人的两件事情 - 他们的性别，男性或女性，以及他们的头发长度或长或短。 P (male, short) 是一个人是男性，有短发的概率。

条件概率

它表示事件已经发生的事件的概率。

例如，将长头发的男性的概率设为P (male | long hair)。请注意，这与 P (long hair | male)不同，因为男性是长发的可能性。

边际概率

当我们发现某个事件发生的概率与任何其他事件无关时，则称为边际概率。

例如，男性的概率由P (male)给出。这个人是否有短发或长头发并不重要。

联合，条件和边际概率之间的关系

联合，条件和边际概率满足以下关系：

P（A，B）= P（B / A）P（A）

也就是说，A和B的概率与B给定A的概率A的概率相同。例如，

P(male,long hair)=P(long hair|male) P(male)

也就是说，一个人是男性，长发的概率=男性是男性的概率，长发的概率是男性。

贝叶斯定理

它是两个变量的条件概率和边际概率之间的关系。它给出如下：

贝叶斯定理的例子

为了理解贝叶斯定理的概念，我们来举个例子。

假设一个人会掷骰子，告诉我们结果。然而，这个人只说了三次真话。因为他很喜欢数字6，如果骰子的结果是6，他会随机选择数字来说谎，但是当骰子结果不是6时，他总是说它是6。他掷骰子，报告他得到的数字是6。我们没有看到骰子，但我们想知道结果实际上是6的概率。

为了解决这个问题，让我们考虑一下掷骰子的结果，结果是6，让B成为那个人报告6的事件。我们想计算P(A|B)

我们知道,

P(A) = 1/6，即6发生的概率是1/6，因为它是6次可能输出中的1次。

P(B|A) = 2/3，即人报告6时的概率是2/3，因为他讲了3次的真相2次。

P（B），这个人报告6的概率，稍微复杂一点。我们需要考虑这个人在每一种情况下会做什么，取决于掷骰子的结果实际上是一个6还是不，然后把它加起来。

人报告6的概率是6,P(B|A) = 2/3。我们知道P(A) = 1/6。

这个人报告的概率是6，而不是P(B|A ') = 1/3。同时,P(A)= 5/6。

因此，P(B) = 1/6*2/3 + 5/6*1/3。

现在，我们可以用贝叶斯定理:

当它实际上是六时，人报告六的概率，P（B | A）= 2/3。我们知道P（A）= 1/6。

当不是P（B | A'）= 1/3时，该男子报告六的概率。另外，P（A'）= 5/6。

因此，P（B）= 1/6 * 2/3 + 5/6 * 1/3。

现在，我们可以使用贝叶斯定理：

概率分布和随机变量。

可以随机取不同值的变量称为随机变量。

如果这些变量在本质上是离散的，它们就称为离散随机变量。

例如，在抛硬币的过程中可能出现的头数(假设抛硬币15次)是一个离散的随机变量。这个数字可以在0到15的范围内取整数值。

同样地，如果变量在性质上是连续的，那么它就称为连续随机变量。

例如，放射性粒子衰变的时间是一个连续的随机变量，因为它可以取无数可能的值，而这些值是不能预先确定的。

正如我们前面讨论的，随机变量可以随机取不同的值。但它所取的所有值都是相等的，也可能是相等的，还是更有可能是随机变量比其他变量更常取某一特定值?

为了解决这种情况，我们试着用一个概率分布来理解这个问题，这个概率分布描述了一个随机变量在每个可能的值上的可能性。

概率质量函数

如果随机变量在性质上是离散的，我们用概率质量函数来描述它的概率分布。

例子:

下面给出的图是一个由两个同时进行的六面掷骰子实验组成的图。它捕获了在x轴两个骰子中出现的数字和在y轴上出现和的概率的结果。例如，得到2的概率是1/36。

预期或预期价值

随机变量（x）的期望值（E）是从其概率分布P（x）采样时的随机值的平均值。

在数学上，它表示为：

对于离散随机变量

对于连续的随机变量

常见概率分布和随机变量

它分为两个，

1）离散概率分布/随机变量2）连续概率分布/随机变量

伯努利

当试验成功或失败时，使用伯努利随机变量，成功表示为1，失败为0.如果P是成功概率，则伯努利变量x的概率质量函数为：

伯努利

二项式

当我们要重新计算n个独立时间的实验时，我们需要计算多少成功。二项式变量x的概率质量函数，其中p是成功概率，给出如下：

泊松：

泊松变量x用于计算单位时间事件的发生次数，使得事件独立并且很少同时发生。对于平均出现次数λ，概率质量函数如下给出：

连续概率分布/随机变量

Uniform

当区间（从a开始到b结束）之间的每个值的概率密度相等时，我们使用均匀随机变量x。x的概率密度函数给出如下：

指数

指数变量x用于我们测量直到首次发生事件时的时间，以便在不相交的时间间隔内发生的事件是独立的，很少同时发生。对于每单位时间a的平均出现次数，概率密度函数如下给出：

Normal

正态随机变量x适用于不同的情况。我们可以用它来模拟物理测量，如重量，高度等。我们也可以用它来模拟测量仪器所产生的误差。一般来说，当被测量的数量的平均值和方差已知时，可以使用它。概率密度函数给出如下：