【原】高三適應性考試填空壓軸題解題思考

試題賞析

考查知識

該題考查了函數的零點、互爲反函數、函數圖像相切、導數和參數最值等知識的綜合應用。爲本次適應性考試填空壓軸題，難度較大。

r(x)和p(x)與y=x無交點，q(x)和h(x)與y=x有兩個交點，有零點的前提一定是要有交點，從圖像的底數1.4和1.6對應來看，我們可以分析出互爲反函數與y=x相切時候a有最小值。

標準答案

如何

利用所學求解

當我們碰見我們不熟悉的問題，我們要思考數學中轉化的思想，轉化成我們熟悉的函數類型，進行求解。

g(x)和h(x)是我們經常見到的互爲反函數，那麼我們怎麼利用他們有交點解出a的值呢？首先我們想到的是圖像平移，如下圖：

我們發現兩個函數平移後能夠於y=x相切，但是函數形式已經不是指數和對數函數了，和我們分析的函數式不符。那麼接下來我們如何考慮？能不能通過對數或者指數的運算將變化後的式子進行變形？

要想使兩個函數都要必過（0，1）和（1，0）還要讓他們都與y=x相切，我們可以將圖像伸縮變化一下，在根據指數和對數的運算性質變回我們分析中的指數和對數函數形式。那麼伸縮多少合適？在這裏我選擇了e，主要原因在於運算上，接下來就等到了a的最小值，先用lnx進行求x，導數是1，那麼x=e.然後再帶入e^x變化後的式子中去驗證，接下來就是e^x如何變化？指數的變化應該是冪指數上的縮小而不是整體的縮小。經過驗證變化後的函數r(x)滿足在x=e時導數值爲1.

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