數理史上的絕妙證明：簡單泡泡背後的恐怖數學

來源：返樸 ID： ID：fanpu2019

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所研究員）

兩個肥皂泡沾到一起後是什麼構型？三個肥皂泡沾到一起後是什麼構型？回答這個問題，觀察敏銳還會點抽象的物理學家容易得出結論，但若要給出證明數學家也得絞盡腦汁。最小面理論、幾何測度論瞭解下？

1泡泡

夏天下雨的時候，雨滴打在積水上有時候會擊打出氣泡（bubble）來。氣泡剛產生時會四下游移，然後沒過多久就啵的一聲破裂了。這說明氣泡的產生和維持都是需要滿足某些條件的。乾淨的水不容易產生氣泡。氣泡內外的壓差 △p 同界面能 γ 和界面幾何之間的關係爲 △p = γ（1/R1+2/R2），其中 R1，R2 是液膜的主曲率半徑，γ 是液體的表面張力，又叫表面能。對於球形氣泡 R1=R2=R ，R 是氣泡的半徑，氣泡的內外壓差爲 △p = 2γ/R 。常溫下純水的表面能高達72 mJ/m2，這幾乎是液體金屬以外的物質能達到的最大值，因此半徑在毫米以下的水氣泡，其內外壓差是大氣壓量級的。加入肥皂、酒精、草木灰一類的物質能顯著降低水的表面能，有助於水泡的產生。吹泡泡大概是最簡單的遊戲了：向清水裏加入一些洗潔精，再找一根吸管，一件能給孩子帶來無窮樂趣的玩具就做好了。看着因爲吹泡泡而歡呼雀躍的孩子，成年人的心裏想必也充滿了歡樂。

有些成年人在吹泡泡時，內心充滿的除了歡樂還有深刻的數學和物理。醉心於吹泡泡的大神有著名的物理學家開爾文爵士（Lord Kelvin，1824-1907），那可是熱力學的奠基人，熵概念的締造者。據說其侄女1887年到鄉下去看望他時，德高望重的老爵士就在忙着吹泡泡。很多泡泡聚在一起，形成泡沫（foam），見圖1。泡沫的整體構型是表面能（表面積）最小的構型，這是一個我們堅信不疑的物理原理。不知是否是受泡沫的啓發，開爾文爵士猜測截角八面體堆積構型的總表面積最小，這即是所謂的開爾文猜想。不過，1993年 Denis Weaire 和 Robert Phelan 找到了一種表面積更小的泡沫結構，從而判定開爾文猜想不成立。這是來自觀察肥皂泡沫的一項重要的數學、物理研究。

本篇要介紹的，是關於泡泡的普拉託定理的證明。這是一類看起來簡單、直覺上明白其是對的、但是卻非常難以證明的著名命題之一。

2關於泡泡的普拉託定理

比利時物理學家普拉託（Joseph Plateau， 1801-1883）是一個醉心於視覺研究和吹泡泡的人（圖2）。普拉託是最早認識到視覺暫留的人，其晚年失去了視覺，據說仍指導侄子吹泡泡繼續他的研究。他1873年出版的長達450頁的《僅置於分子力之下的液體之靜力學》一書是關於泡泡研究的經典。作爲一個科學家，面對泡-沫（bubbles and foam）這種人所共知的存在，普拉託看出來了許多很不直觀的內容。普拉託其人其事，特別適於用來闡述科學家（依人之本性而非職業而言）同非科學家之間的區別。

關於泡泡，一個孤立的懸浮氣泡，不考慮空氣流動或者重力、溫度場對液體分佈的影響，是球形的。如果許多泡泡漂浮在空中，很可能會發生兩個或多個氣泡相遇而合併（merge， coalesce）的情形（圖3）。那麼，兩個氣泡相遇其穩定構型是什麼樣的呢？三個呢？或者籠統地說，氣泡團簇（bubble cluster）的構型會是什麼樣的呢？一般人很容易想到，若兩個氣泡是完全等同的，則它們相遇後的構型必定是對稱的，因此它們的邊界必然是一個平面，兩個泡泡各自的形狀關於這個平面成鏡面對稱。然而，我們知道，一個球形氣泡其內外壓差爲 △p = 2γ/R。因爲飄在空中的氣泡，其外部都是一個大氣壓，顯然氣泡越小，其內部壓力越大。若一大一小兩個氣泡相遇，小的氣泡會擠壓大的氣泡，進入大氣泡的內部（可能許多人此時的反應是：是嗎？我沒注意啊）以達到一個平衡的構型（圖4），爲此氣泡內的體積和壓力都要調整。

普拉託經過多年研究，得到了關於氣泡及其合併構型的許多重要結論，可總結爲普拉託定理如下：

1、氣泡由完整光滑的曲面（entire smooth surfaces）拼成；

2、氣泡的每一片膜都是常平均曲率曲面（mean curvature is everywhere constant on any point on the same piece of a film）；

3、泡泡表面的邊界一定是由三表面兩兩相接構成的三條曲線（稱作普拉託邊界），其交角爲120°，即夾角爲 arccos（−1/2） = 120°；

4、普拉託邊界之間相交一定是由四條邊界相交構成一個點，四條邊界線兩兩之間的交角都相同，等於正四面體的中心同各頂點連線所成的角，即夾角爲arccos（−1/3） = 109.47°。

這四條普拉託定理，除了第一條以外，都不是那麼直觀，意思是不是尋常人通過觀察能總結出來的。普拉託定理第1、2兩條談論的是氣泡（團簇）的光滑部分，第3、4兩條談論的是結構中存在的奇性（singularity）問題。普拉託定理的第3、4兩條的意思是泡泡有兩種相遇的模式，或者說氣泡團簇的奇性有兩類：要麼是三個表面沿一條曲線相遇；要麼是六個表面相遇於一點。最重要的是，相遇處相鄰面之間的夾角是相等的，分別爲120°或者爲109.47°。至於證明，我們會發現，這要求很高深的學問，包括微分幾何和幾何測度論等即便是對數學專業的人也不算容易的學問。不過，泡泡多有趣啊，爲了理解泡泡，爲了幫助孩子理解泡泡，學點微分幾何不是摟草打兔子的事兒嗎？

圖4。兩個全等氣泡合併時，其界面是平面，而大小不等的兩個氣泡合併時，其界面是個小氣泡突入大氣泡一方的球帽

3普拉託定理的證明

普拉託定理證明的關鍵，是要證明有第3、4兩條給出的相遇模式，還要證明此構型相對於變形是穩定的，且在此構型下面積最小。可以想見，這個問題的證明不能一蹴而就，它是一場智慧的接力。先看普拉託定理的第一條，氣泡由完整光滑的曲面構成。對於一個自支持（free-standing）的氣泡，即懸浮在空中的、單個的氣泡，觀察告訴我們它是球形的（圖1），此時結構不存在奇性，應該屬於最簡單的情形。然而，關於這個結論的證明，也有許多可訾議處。一般證明是純數學角度的，論證給定面積的曲面，球面包裹的體積最大。這個證明據信在亞里士多德的《論天》（de caelo）一書裏就有。從物理的觀點來看，限定一個氣泡的條件（忽略重力、溫度等因素）是泡內氣體的量（而非體積）和外部的環境氣壓。氣體的流動性使得氣壓各向同性，它註定了氣泡膜的構型具有最大的對稱性，即球對稱性。壓力平衡的條件是硬性的，氣泡膜的厚度（這是物理問題）會適度調整來達到平衡條件，因此也就調節了氣泡內的體積。以氣泡內體積恆定的數學證明與物理現實是有出入的。

普拉多問題證明的難點，是不容易做到 without a strong initial assumption on the smoothness and symmetry，即很難做到一開始不對構型的光滑性與對稱性做一些強的假設。在數學上，可以把曲面理解爲從平面區域（2D domain）向三維空間的映射，變分法是求極值（比如要求面積最小）的方法。但是這個方法有很多弊端，其最大的問題就是缺乏緊緻性。如果預先假定肥皂泡是緊緻曲面的話，那麼根據曲面微分幾何中的阿列克桑德羅夫定理，這曲面必定是一個標準球面。然而，氣泡團簇構型是一個含有奇性的結構，比如兩氣泡相遇後造成的界線，此處曲面發生彎折。可以想見，關於氣泡問題證明的首要任務是分析奇性的結構（structure of singularity），並予以分類。此問題已研究過一個多世紀，相關成果也非得自一篇論文。

所幸的是，一個真正科學的問題不會只有一個側面，它可能會以不同的面目遭遇不同的科學家。1964年，Aladar Heppes 證明了球面上測地線以120°夾角相交（這和普拉託定理的第3、4條有關）的構型只有10種（圖5）可能性。接着，女數學家泰勒（Jean E。 Taylor， 1944-）證明了前三種以外的構型面對變形都是不穩定的，而前三種對應的就是光滑表面和普拉託定理的第3、4條涉及的奇性種類（types of singularity）。泰勒1976年順着切錐（tangent cone）、關於等周不等式到奇性結構的路子，構造了一個對普拉多問題的證明。如大家可能已經感知的，這個證明是冗長的、且是有些限定的。這個證明利用了 rectifiable current （可求長的流），測度等幾何測度論的概念。大致說來，這要用到幾何測度論的學問，可分爲三部分：切錐分析，一個微分形式的等周問題不等式的證明，然後從此不等式得到微分結構。其中第一部分證明三維空間中面積最小的錐是Y （半圓盤及其繞直徑爲軸轉120°和240°之構型的交集），以及 T（

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4多餘的話

泡泡問題展示了一個非常簡單的原理，即物理意義上的表面能最小或者數學意義上的面積最小，然而問題卻未必那麼簡單。從物理的角度來看，哪怕完全不考慮重力、溫度等因素的影響，泡泡問題的外部約束也是外部壓力恆定，而非數學證明擅長的給定邊界的最小曲面問題。對於單個泡泡來說，其構型爲球形，此時對稱性最大。對稱性最大意味着某些物理量取極值。筆者2018年纔想到並堅信了這一點（比如筆者堅信金剛石的極大楊氏模量就與其化學的和電子結構的對稱性有關）。以筆者有限的見識，從此角度出發做物理的範式，似乎未見過。

泡泡問題的複雜性源於幾何構型變化的本質。肥皂泡沫這種結構是那種幾乎處處規則（regular almost everywhere）的結構。那規則的曲面部分可看作是從二維圓盤到三維空間的一個光滑的映射好了，但是，那些不規則的地方，比如兩個泡泡的（一維）界線處，就需要特別的描述，比如引入特殊的測度。關於泡泡團簇構型的證明，難就難在這裏。爲此，數學家不得不準備一門全新的學問。證明一個問題，可能首先需要在別的層次、用別樣的眼光看這個問題。

在閱讀關於泡泡問題的數學書時，備受煎熬的筆者忽然想到，優秀的數學家應該是典型的一類不能好好說話的人吧，不知道優秀數學家的配偶是否也必須是不能好好說話的那類人？筆者腦中靈光一閃，發明了一個關於數學家的定理： “任何配偶集合非空的數學家都不是合格的數學家，除非其配偶自身是合格的數學家。” 或者換個更強一點的表述，“若任何配偶集合非空的數學家是一個合格的數學家，則其配偶自身必然是合格的數學家。” 五分鐘後筆者看到了女數學家泰勒同其第二任丈夫、數學家兼導師Almgren的結婚照。泰勒女士1976年證明普拉託定理的論文就是基於Almgren的理論的。世界太神奇了，筆者提出數學家定理5分鐘後就發現了證據。順便提一句，泰勒女士本科是學化學的，碩士導師是幾何大家陳省身先生。

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