來源：量子位

2020，又一位數學大師仙逝。

7月6日，美國著名數學家葛立恆（Ronald Graham）因病逝世，享年85歲。

雖然很多數學愛好者不敢相信這個事實，但美國數學學會（AMS），已在官網發佈了葛立恆的訃告：

這位曾經的AMS主席獲得官網這樣的評價——他是離散數學的領軍人物。

與葛立恆合作過25篇論文的數學家Steve Butler也在社交媒體上證實了這一消息。

這位傳奇數學家留給大衆最重要的遺產，就是葛立恆數，這個數學證明中用到的最大數曾入選吉尼斯世界紀錄爲人熟知。

而葛立恆數僅僅是他的一點貢獻，葛立恆還在組合數學、圖論、調度理論、計算機科學等諸多領域都做出過巨大貢獻。

我們都聽過所謂的“六度理論”，即任意兩人之間都可以通過不超過6個人的人脈關係聯繫起來，這一理論恰恰是由葛立恆1979年的一篇論文發展而來。

而且，葛立恆不僅僅是一名數學家，還是一名雜技演員、魔術師。

傳奇數學家

如果你不熟悉葛立恆，那一定會覺得他的名字非常特殊。

Graham通常翻譯做格雷厄姆，爲何Ronald Graham卻翻譯成了“葛立恆”這樣一個有中國特色的名字？

原因是葛立恆有一位華人妻子金芳蓉。金芳蓉也是圖論領域的專家，夫妻二人同是加州大學聖迭戈分校的數學教授。

葛立恆一生共發表350多篇論文和書籍，其中與妻子合作的就有90多篇。

談到和葛立恆的婚姻，金芳蓉這樣描述：

“許多數學家不願嫁給同專業的人。他們擔心二人之間會過於競爭。我們不僅都是數學家，而且都在同一領域工作。因此，我們可以理解和欣賞對方的工作，而且我們可以一起工作，有時會取得很好的進展。”

在生活中，葛立恆與另一位天才數學家保羅·埃爾德什（Paul Erdős）也有一段令人稱頌的友誼，兩人合作過30多篇論文。

葛立恆夫婦與埃爾德什

葛立恆夫婦甚至還在家中留有一個專門的房間，給埃爾德什長期拜訪居住。

由於埃爾德什比葛立恒大22歲，後來葛立恆還負責起埃爾德什的起居生活，包括管理收入、納稅還有幫他買衣服。

埃爾德什去世後，葛立恆負責打理由埃爾德什設立的獎金——埃爾德什獎，這筆獎金用於獎勵那些解決某難題的青年才俊科學家，陶哲軒也曾獲獎。

出生於1935年的葛立恆，於1962年獲得了加州大學伯克利分校的博士學位，此後進入了AT&T的貝爾實驗室工作，之後擔任該實驗室首席科學家。

在他的帶領下，貝爾實驗室建成了世界一流的離散數學和理論計算機科學研究中心。

在此期間，他曾在普林斯頓大學、斯坦福大學、加州理工學院、加州大學洛杉磯分校和戴維斯分校擔任訪問職位。葛立恆1999年被任命爲加州大學聖迭戈分校的計算機與信息科學系主任。

2003年，葛立恆獲得了美國數學學會頒發的斯蒂爾終身成就獎。

多才多藝的葛立恆，在此期間還有其他“副業”，他曾在1972年擔任國際雜技演員協會主席。

葛立恆精通體操和蹦牀，也是個會雜技的魔術師。

這些副業也給了他主業巨大的扶持。當葛立恆在研究數學問題受困時，他會在工作場所來一些雜耍動作放鬆頭腦，獲得靈感。

說到這裏，你是否覺得葛立恆的人生已經足夠開腦洞，而他最重要的葛立恆數纔是把腦洞開到最大。

什麼是葛立恆數

說到這裏，我們進入燒腦環節。這個號稱最大數的葛立恆數定義是這樣的：

△ 圖片引自waitbutwhy

爲了搞清楚上面的標記到底是啥意思，我們先來介紹一個新的工具。

過去人們用科學記數法來表示大數實在是弱爆了，於是著名計算機學家高德納想到了一個更好的辦法。

沒錯，就是那位獲得1974年圖靈獎、還在寫《計算機程序設計藝術》的計算機大神高德納。

他提出的表示法被叫做高德納箭頭——通過不停給指數“套娃”的方式來構造大數。

一個高德納箭頭表示普通的指數：

3↑3 = 33 = 27

兩個高德納箭頭表示指數嵌套的層數：

3↑↑3 = 3↑（3↑3）=3↑27 = 327 = 7625597484987

三個高德納箭頭是把二重箭頭再算一遍：

3↑↑↑3 = 3↑↑（3↑↑3） = 3↑↑7625597484987 = ……

更直觀的表示是這樣的，總共嵌套了7625597484987層指數：

算到這裏，3↑↑↑3已經是一個“天文”數字。算出它不可能，就是把它所有的指數寫下來，也需要天文級別長度的紙條。

因爲，如果我們每隔2釐米寫一個3，那麼得從地球寫到太陽表面。

圖片來源：waitbutwhy

四個高德納箭頭就是把三箭頭再嵌套一次：

3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑（3↑↑↑3） = 3↑↑↑（一個需要寫到太陽的數） = ？？？

隨着箭頭的增長，數字的增長速度比指數函數不知道快多少倍。

然而這還僅僅是葛立恆數的第一層，也就是第二層的箭頭數，第二層的數又是第三層的箭頭數，……，葛立恆數這個“老千層餅”總共有64層。

這個數到底有多大？大到你的腦洞變成黑洞也裝不下。

我們不僅沒法算出來葛立恆數，甚至連葛立恆數位數的位數也無從知曉。

全宇宙的原子數量在葛立恆數面前就是0。假如你的腦子要裝下葛立恆數，存儲這個數的信息熵會大到讓你的腦子變成黑洞。

至於葛立恆數的最後500位是這樣的：

… 02425950695064738395657479136519351798334535362521430035401260267716226721604198106522631693551887803881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262195195387

葛立恆數有什麼用

爲了防槓，在這裏我們需要強調：比葛立恆數大的數還有無窮多個！

比如給葛立恆數加一、乘二，都能得到比它更大的數，但這些數字都沒有具體的數學意義。

葛立恆數是有數學意義的最大數字（直到TREE（3）出現）。

那麼，一個研究離散數學的人是怎樣和巨大數字打起了交道？這要從葛立恆研究的圖論說起。

葛立恆當年研究了拉姆齊理論中的一個問題：給n維立方體的邊上色。我們先從最簡單的二維立方體，也就是正方形說起。

正方形總有有4個頂點，把這些頂點全部兩兩連起來，總共會有6條線。這種把所有點全部連起來的圖，在數學上叫做完全圖。

圖片來源：YouTube @Numberphile

如果我們規定6條邊只能塗上紅藍兩種顏色，那麼在一個平面裏會不會有單色的完全圖呢？

葛立恆在5年前的科普視頻裏告訴我們，在正方形上，確實可以找到一種塗色方法，可以不出現單色的完全圖。

紅色邊所連3點沒有構成完全圖，因爲底邊是藍色（來源同上）

那麼到了3維情況會如何？立方體頂點間總共有28條連線，給它們按照以下方式上色。

你注意到了嗎？有一個斜的平面中有個單色完全圖，可是如果我們把最下面的邊換成藍色，那麼就不能在任意一個平面內找到單色完全圖了。

如果到4維、5維、6維……空間中的立方體，是不是存在一種塗色方法，讓人找不到平面內的單色完全圖呢？

通過具體的例子，我們發現2維、3維中立方體中，確實能找到這樣的塗色方法、但是數學家們發現，當維度n大於一個數後，就再也找不到符合要求的塗色方法了。

至於n到底有多大，數學家到現在也沒有完全證明，只能給出一個範圍。

數學家已經證明n≥13（來源同上）

而葛立恆證明，這個n最大不會超過葛立恆數。

《科學美國人》雜誌的專欄作家Martin Gardner在大衆科普中介紹了上述問題，葛立恆數的名稱由此而來。

Gardner在文章裏這樣描述葛立恆數：

“其範圍如此之大，以至是嚴肅數學證明中使用的最大數。”

雖然後來有更大的TREE（3）超越它，但是葛立恆數已經如此深入人心，以至於人們一提到最大數，首先就想到它。

今年我們已經失去了John Conway和葛立恆兩位數學大師，令人惋惜。

斯人已逝，相信葛立恆已經和好友埃爾德什在另一個世界相聚。

如果寄託的哀思有一個數量限制的話，那一定是葛立恆數。

RIP