中考數學解題策略大盤點（3）

三、解題的常用方法

3.化折爲直

化折爲直：定點間的幾條折線段在一條直線上時，其和最小。另有：點到直線的所有連線中垂線段最小。這裏的“直”理解爲“直線”或“垂直”。注意：化折爲直的前提是“幾條連續折線在兩個定點之間，或在定點與定線之間”，若不滿足需先進行變換轉化。

例13.（1）如圖①，RtΔABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點P是邊上任意一點，則PC的最小值爲．

（2）如圖②，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點M、點N分別在BD、BC上，求CM+MN的最小值.

（3）如圖③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是AB邊上一點，且AE=2，點F是BC邊上的任意一點，把ΔBEF沿EF翻折，點B的對應點爲P點，連接AP、CP，四邊形APCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個最小值及此時BF的長度；若不存在，請說明理由．

問題（1）直接求點C到AB的距離。

問題（2）中折線CM、MN居於軌跡線BD同側，無法化直，所以要先把CM或MN翻折變換到另一側，以便化直，這樣轉化爲點到線的最短路徑問題。如下圖，CM+MN=C′M+MN，C′N′即爲其最小值，在ΔCC′N′中利用三角函數可求得爲24/5×4/5=96/25。

同樣可以把MN沿BD翻折至MN′，N′的軌跡即是把BC翻折後的BC′，轉化爲求C點到直線BC′的最短路徑，即CH的長。

問題（3）中可先確定P點軌跡爲以E爲圓心以BE爲半徑的圓弧，把四邊形APCD面積最小轉化爲ΔAPC面積最小，再轉化爲高PH最小，即求圓E到直線AC的最短路徑，過E作AC的垂線，所得PH即爲最小值，求得四邊形APCD的面積最小值爲15/2。

4.改斜歸正

改斜歸正：由於座標的本質是水平豎直方向的距離，所以座標系中往往把斜向線段的關係轉化爲正向（水平豎直方向）線段的關係解決。

例14.拋物線y=0.5x²+1.5x-2與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點P爲拋物線在第三象限的一個動點，作PH⊥BC於H.

（1）求PH的最大值；（2）若∠HPC=2∠ABC，求點P的橫座標.

問題（1）中PH的長不易表示，可以作PN⊥x軸交BC於M，設P（x，0.5x²-1.5x-2），M（x，-0.5x-2），則PM=-0.5x²+x，PH=2√5/5PM，轉化爲求PM的最大值。

問題（2）可先確定∠HPC=2∠ABC的大小，再作K形相似把斜向關係轉化爲正向關係解決。如下圖，作∠ODC=2∠ABC，易得tan∠ODC=4/3：

再以改斜歸正法構造相似形，如下圖，相似比爲HC:HP=4/3，即可把斜線段的關係轉化爲直角邊的關係（這就是改斜歸正的最大優越性），易得P（-11a，-2-2a），代入函數表達式即可求得P點橫座標爲-29/11。

5.移花接木

移花接木：問題中的表面形式變化而主體條件不變時，其方法思路完全相同，可以相互遷移；或後續問題包含前題模型，可以直接套用前題模型得出結論。

例15.已知：△ABC是等腰直角三角形,動點P在斜邊AB所在的直線上，以PC爲直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究並解決下列問題：

(1)如圖①，若點P在線段AB上，且AC=1+√3，PA=√2，則：

①線段PB= ，PC= ；

②猜想：PA、PB、PQ三者之間的數量關係爲；

(2)如圖②，若點P在AB的延長線上，在(1)中所猜想的結論成立嗎，請說明理由；

(3)若動點P滿足PA/PB=1/3,求PC/AC的值.

問題（1）（2）所含模型及思路方法完全相同：手拉手全等得RtΔBPQ，易知PA²+PB²=PQ²。

問題（3）直接用前面結論求PQ，注意分類討論：設PA=a，PB=3a，PQ=√10a，PC/AC=PQ/AB=√10/4或√10/2。

6.運動變換

運動變換：問題中條件孤立無聯繫，所含模型隱蔽，通過把關鍵圖形運動變換以產生新關係新模型以解決問題。常見運動變換的識別線索有：（1）共點等線用旋轉；（2）共線等角用翻折；（3）平行線間用平移；（4）倍分關係用縮放；（5）和差關係用截補。

例16.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC，E是BC的中點，∠BAE=∠ADC，AB:AD=2:3，BC=2，CD=5，求BD的長.

題中條件分散聯繫較少，由∠BAE=∠ADC導角得∠ABC+∠ADC=90°，以此想到作∠ADF=∠ABC可構造直角（和差關係用截補），由AB:AD=2:3想到構造ΔADF與ΔABC相似（倍分關係用縮放），由AB=AC想到旋轉ΔABD或ΔACD（共點等線用旋轉），上述幾個線索都指向下面的構造方法：

上述構造都出現了一對全等三角形，一對相似三角形（等腰），一個直角三角形（ΔCDF或ΔBDF），從而獲得完整的模型建立關係，易求BD的長爲√34。

例17.如圖，四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，BD⊥CD，AC=4，BC-AB=3，當ΔACD的面積最大時，AD= .

題中有角平分線BD，由“共線等角用翻折”把ΔBCD沿BD翻折到ΔBED；也可根據條件BC-AB=3，由“和差關係用截補”把BA延長截AE=3則得BE=BC，它們指向同一種圖形構造，如下圖，ΔACD的面積爲ΔACE面積的一半，轉化爲求ΔACE的面積最大值，AE、AC爲定值，顯然當AE⊥AC時其面積最大，易得此時AD=1/2CE=2.5。

7.分類討論

分類討論：當問題存在多種可能情況時，按不同情況分類分別解決。注意分類應不重不漏，嚴謹全面，並指明數量的取值範圍或圖形的位置範圍。

例18.已知，如圖：在平面直角座標系中，O爲座標原點，四邊形OABC是矩形，點A、C的座標分別爲A（10，0）、C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC邊上運動，當△ODP是腰長爲5的等腰三角形時，點P的座標爲 .

分類：（1）OP=OD=5，（2）PD=OD=5，（3）OP=PD=5（不存在）。用軌跡定位法作圓可知OP=OD時有一個點；PD=OD時存在兩個點：

構造直角三角形分別求得P點座標爲（3，4）、（2，4）、（8，4）。

例19.將矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG，當α爲何值時，GC=GB？畫出圖形，並說明理由．

由旋轉知G點軌跡是以A爲圓心以AG爲半徑的圓，由GC=GB知G點軌跡是BC的垂直平分線，兩軌相交可知存在兩種情況，旋轉角分別爲60°和300°。

注：分類討論問題中用軌跡定位法可使所求未知點一覽無餘沒有遺漏！

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