來源：中國科普博覽

你是否曾經想過什麼是混沌理論？

給我幾分鐘，我將給你介紹理論物理中我最喜歡領域之一的基礎知識，以及這理論所展現的精美圖像——而這隻需要加法和乘法就可以達成這個效果，準備好被震驚吧！

混沌誕生之時

在上世紀六十年代初期，麻省理工學院的教授愛德華·洛倫茲致力於利用大學裏面最新的大型計算機來預測天氣。他推導出了描述空氣對流的一組簡單方程，並利用計算機來求解這個方程。

接下來發生的事情使他大喫一驚：在沒有任何隨機數引入的情況下（確定系統），計算機利用同樣參數兩次跑出的結果大相徑庭。混沌理論被發現了！

什麼是“確定系統”

在數學、計算機科學和物理中，確定系統是系統在未來發展的狀態中不涉及到隨機數的系統。因此，對於給定的初值或初始狀態，其輸出結果會一直相同。

所以，洛倫茲的天氣預測中，發生了什麼？看下面這個例子。

任選一個隨機數

比如說：0.123267203462345822542，然後在每一步中，將這個數乘以10，再去掉小數點之前的數（相當於進行了操作mod 1）。

將這個數乘以10

上面的例子中我們得到：1.23267203462345822542

去掉小數點之前的數

得到：0.23267203462345822542

再次重複乘以10

2.3267203462345822542

去掉小數點之前的數：

0.3267203462345822542

。。。。。。

這當然是一個確定系統，完全沒有隨機數的引入。

現在，我的問題來了：你能預測這些數字的未來發展狀態麼？

答案是“既能也不能”。對於更多有限的步驟，可以得出很準確的答案。但是，100步之後呢？題目並沒有給出足夠的位數。計算機存儲小數點之後的位數是固定的（取決於你數字的類型）。一個64位的雙精度數有16位十進制的數字，所以，在進行上述的操作15次之後，你將無法獲得預測的結果。如果你會編程，我建議你自己嘗試一下！在早期的計算機中，這樣的方程甚至被用作僞隨機數的生成器。

就算我們知道小數點之後的100或者1000位，在此之後，結果都是不可預測的，因爲在每次操作中，由於刪除了小數點之前的數，破壞了信息。因此最後得到的結果，尤其依賴於初始條件。

分叉圖——重複 再重複

到這裏爲止，我們先總結一下我們已經得到的結論：

混沌方程是確定性的方程或者系統（代表沒有隨機數參與，且明確計算當前態到未來態的結構），同時非常依賴於初始條件，使得我們不可能預測長遠的未來。

本文開始的圖片是所謂的邏輯圖的分叉圖的放大區域（如下圖）。讀完這篇文章之後，你將明白如何解釋這幅圖，這也是整個物理領域中我最喜歡的圖之一：）

邏輯圖的分叉圖

這是邏輯圖的方程。別擔心，讓我們一起看看一下這個方程表示了什麼。

邏輯圖描述了種羣數目模型，該模型包含兩個控制種羣規模的對抗部分：種羣的繁衍和由於食物供應有限導致的死亡。如果種羣中沒有生命，x就是0；x=1代表着種羣已經到達了最大值（由於食物有限），r是繁衍率。

下標i代表在時間i時的種羣數目，下標i+1代表下一個時間的種羣數目。這代表着，如果我們知道現在這個時間的種羣數目以及繁衍率，就可以計算下一個時間的種羣數目。

可以舉一個簡單的例子。簡單起見，假設繁衍率r=1，假如種羣初始數目爲最大數目的80%，即x0=0.8。

這代表着種羣從最大可能種羣的80%縮減到16%。原因是種羣沒有繁殖出足夠的數量，也沒有足夠的食物來維持現有的x=0.8種羣。

方程中的 “1×0.8”代表出生的人口。繁衍率越高，出生數目就越多。這裏我們把繁衍率取爲1，因此下一步中結果仍爲0.8；

“1-0.8”部分代表因飢餓導致的死亡。“r·x0=1×0.8” 這一項乘以係數“1-0.8=0.2”，代表5個生物中有4個餓死了。x的值越接近1，越多的生物會死亡。（幸好，這只是模型。）

那麼照這樣下去這些會怎麼發展呢？下面的圖展示了種羣隨時間發展的趨勢。圖中發生了什麼呢？種羣x趨於0，代表生物的出生率小於死亡率，因此最終會滅絕。

回到分叉圖中，我們用黑點表示x=0，繁衍率r=1，如下圖所示。

繁衍率在0~1之間的種羣會滅絕

對於更大的繁衍率的種羣，比如說r=2.5：

種羣的大小快速達到了最大可容納值的60%，然後保持不變，這被稱爲系統的不動點。不動點不依賴於x的初始值，只依賴於繁衍率r。在分叉圖中，我們用綠色的點標示r=2.5和x=0.6，如下圖所示。

接下來我們把繁衍率提升到 r=3.25，看一看會發生什麼。下圖顯示了種羣發展的情況：你會發現種羣會在兩類種羣規模之間震盪！

爲什麼會這樣呢？在較大的種羣規模下，我們模型中的所有生物都沒有足夠的食物，一些生物會因此死去，然後剩下的生物就會有足夠的食物生存。但是一旦繁衍率再次提升，食物又會缺失，一些生物又會死去，這個過程不斷循環……

在綠色的點的位置圖像分爲了兩部分，物理學家稱之爲：倍週期。在分叉圖中用兩個藍色的點標記r=3.25。

如果將繁衍率再度提升，你猜會發生什麼？兩個藍色的點分裂爲了四個，現在種羣的數量在四個點之間振盪。

在分叉圖中標記如下。

我們觀察到的現象被稱爲：倍週期級聯。4 個固定點成爲了8個，8個變爲16、32、64直至無窮大，在倍週期級聯的最後，混沌就出現了。

在分叉圖中，整個區域不用振盪的離散固定點表示，而是用灰色的區域表示，是因爲這些點在這些區域都出現過，顏色越深，出現的次數越多。

如果觀察 r=3.75的部分，可以看出，灰色區域從x=0.25左右開始，在x=0.9左右結束，代表種羣數目在這些值之間不斷變化。

下圖表示種羣在r=4時的情況：種羣的數目變化是完全混亂的。如果可以用數字多次計算這個趨勢變化，你會發現：初始值的微小變化（由於數值精度的限制）會產生截然不同的結果，這就是混沌的主要特徵。

到目前爲止，一切還好。但是如果仔細觀察混沌區域，會發現灰色區域中間有白色的條紋。這代表什麼？讓我們放大這個區域，仔細觀察。

這看起來跟之前的圖像非常相似，讓我們放大第二個矩形。

你看見了什麼？在r≈3.625的左邊，只有混沌出現。在灰色區域，種羣數目可以是灰色區域的任意值。然後，混沌突然消失，一個固定點出現了，這些白色的區域被稱爲穩定島。然後同樣的事情發生了，倍週期出現、二級倍週期……倍週期級聯，混沌出現。

如果進一步放大，同樣的事情出現：混沌區域的穩定島、倍週期級聯、混沌出現。再放大，更多穩定島、倍週期級聯、混沌……

我第一次學到這個的時候，這個現象絕對震驚到了我，縱使幾年後亦然如此。所有這些複雜的混沌行爲都能利用一個簡單的模型來描述。

我嘗試創建一個自相似的動畫來展示這個現象，請着重注意閃爍的白色穩定島和隨處可見的倍週期級聯現象。

有許多其他的混沌圖展示了同樣的現象，比如說如下面動畫展示的高斯圖（有時也被稱爲老鼠圖，你能猜出原因麼？）

這個圖我們就不放大看了。圖的方程包含了一項新的元素：α，在動畫中α的取值是從3.5到8。

當曲線不斷分裂成2、4、8……時，注意到會有周期倍增的現象。你能觀察到在混沌區域出現的穩定島和倍週期級聯等所有元素。

關於混沌現象還有很多其他的圖像，感興趣的朋友可以戳下面的圖片↓

蜘蛛網

洛倫茲吸引子

有興趣的讀者們還可以自己動手編碼畫出屬於自己的混沌圖哦~