一个闭合环路包括所有矩形的角吗？今年3月中旬，数学家乔舒亚·格林和安德鲁·洛布因疫情原因只能待在家中。他们决定全身心投入到研究中来解决这个问题。这两个朋友看到的其中一个问题是一个世纪以前的几何问题。

它以一个闭合的循环开始。格林和洛布研究的问题预测，基本上，每条这样的路径都包含四个点组成的集合，它们构成任意比例的矩形的顶点。

虽然这个“矩形问题”看起来简单，但几十年来，数学家们一直在努力解决这个问题。当格林和洛布开始着手解决这个问题时，他们没有任何特别的理由认为自己会有所突破。在5月19日，当世界部分地区刚刚开始重新开放时，他们发布了一个解决方案。

回顾矩形问题

矩形问题是德国数学家奥托·托普利兹在1911年提出的一个问题的一个近似分支。他预言，任何一条闭合曲线都包含四个可以连接起来形成正方形的点。

格林说：“这是一个老而棘手的问题，没有人能够解决。”

要理解为什么这个问题如此困难，了解一些关于矩形问题所讨论的曲线类型是很重要的，这对格林和洛布的证明也很重要。

这对搭档解决了一个关于既“连续”又“光滑”的闭合曲线的问题。光滑连续的曲线与仅仅连续但不光滑的曲线形成对比。有许多角的曲线的一个突出的例子是分形的科赫雪花，它实际上是由角组成的。科赫雪花和其他类似的曲线，无法用微积分和相关方法进行分析，这使得研究它们特别困难。

一些连续的（非光滑的）曲线真的很糟糕。

矩形桩问题的第一个重大进展是由赫伯特·沃恩在20世纪70年代末的一个证明中取得的。这个证明开创了一种思考矩形几何的新方法。沃恩没有把矩形看成四个连接点，而是把它看成两对彼此有特殊关系的点。

画一个顶点标记为ABCD的矩形，从左上角顺时针方向。在这个矩形中，这对点AC（沿着矩形的对角线）之间的距离等于这对点BD（沿着另一条对角线）之间的距离。这两条线段也在它们的中点相交。

因此，如果你在一个闭合的循环中寻找矩形，一个方法就是寻找它上面具有这一特性的对点：它们形成具有相同中点的等长线段。要找到它们，很重要的一点是要用一种系统的方式来思考它们。

为了理解这是什么意思，让我们从一些更简单的东西开始。取标准数轴，在上面选择两个点上，比如7和8的，把它们画成xy平面上的一个点（7，8），像（7，7）这样的点也是允许的。现在考虑可以从数轴中提取的所有可能的数字对。如果你要画出所有这些点对，就填满了整个二维xy平面。

沃恩对闭合曲线上的点对做了类似的处理。他意识到如果你从曲线上取几对点并把它们画出来（不用考虑哪个是x坐标，哪个是y坐标），你不会得到平坦的xy平面。相反，你会得到一个令人惊讶的形状：莫比乌斯带，这是一个只有一面的二维表面。

从某种意义上说，这是有道理的。在曲线上取一对点，标记为x和y，沿着曲线的一条弧线从x移动到y同时沿着曲线的互补弧从y移动到x。在此过程中，你移动了曲线上所有的点对，从无序点对开始到无序点对结束。这种无序点的方向翻转回路形成了莫比乌斯带的核心。

该莫比乌斯带为解决矩形桩问题提供了一个新的分析对象。沃恩用这个事实证明了每条这样的曲线都包含至少四个组成矩形的点。

四维的答案

格林和洛布的证明建立在沃恩的基础上。但它还结合了其他一些结果，其中一些是最近才得到的。最后的证明就像一个精密的仪器，有正确的想法组合来产生他们想要的结果。

他们的证明最早出现在2019年11月，当时普林斯顿大学的研究生科尔·哈格尔迈耶发表了一篇论文，介绍了一种分析沃恩的莫比斯带的新方法。这项工作涉及一个被称为嵌入的数学过程，在这个过程中，你把一个物体移植到一个几何空间中。格林和洛布最终将哈格尔迈耶的技术应用到另一个几何空间。

下面是一个关于嵌入的简单例子。

从一维的直线开始。直线上的每个点都由一个数字定义。现在把这条线“嵌入”到二维空间中——也就是说，在平面上画出它。

一旦将直线嵌入到xy平面中，该平面上的每个点都由两个数字定义——指定该点在平面中的确切位置的x和y坐标。有了这些设置，你就可以开始使用二维几何技术来分析这条线了。

哈格尔迈耶的想法是对莫比斯带做类似的事情，把它嵌入到四维空间中，在那里他可以用四维几何的特征来证明他想要的关于矩形的结果。

基本上，你已经有了你的莫比乌斯带，对于它上面的每个点，你要给它四个坐标。你给每个点一个四维空间的地址——洛布说

哈格尔迈耶创建这些地址的方式对于寻找曲线上的矩形这一总体目标特别有用。与邮政地址一样，你可以认为他为曲线上的每个点分配了省、市、街道名称和街道编号。

为了做到这一点，他从莫比乌斯带上的一个给定点开始，观察它所代表的原始闭合曲线上的两个点。然后他找到了这两个点的中点并确定了它的x和y坐标。这是四维地址中的前两个值（将它们看作省和市）。

接下来，他测量了曲线上两个原始点之间的直线距离。这个长度成为四维地址中的第三个值（可以把它想象成街道名）。最后，他计算出了通过原始两点的直线与x轴相交的角度。这个角度变成了四维地址中的第四个值（可以把它想象成街道号码）。这四个值有效地告诉了你关于曲线上这对点的所有信息。

这个过程可能看起来很复杂，但它给哈格尔迈耶带来了迅速的回报。他拿起嵌入的莫比乌斯条带并旋转它，旋转后的莫比乌斯条带与原带偏移，因此两个副本相交。（因为旋转是在四维空间中进行的，所以很难想象莫比乌斯带的两个副本重叠的确切方式，但在数学上很容易获得。）

这个交叉点很关键。在莫比乌斯带的两个副本重叠的地方，你会在形成矩形的四个顶点的原始闭合曲线上找到两对点。

为什么？

首先，一个矩形可以被认为是共享中点的两对点，它们之间的距离相等。这正是在嵌入的莫比乌斯带上分配给每个点的四维地址的前三个值中编码的信息。

其次，可以在四维空间中旋转Mobius带，这样您只改变每个点的四坐标地址中的一个坐标，就像改变一个街区内所有房屋的街道号码，但保持街道名称、城市和省不变。

哈格尔迈耶解释了如何在四维空间中旋转莫比乌斯带，使编码两点之间中点的两个坐标保持不变，编码两点之间距离的坐标也保持不变。旋转只改变了最后一个坐标——关于两点对之间的线段角度的编码信息。

因此，旋转后的莫比乌斯带副本与原副本的交点恰好对应于闭合曲线上具有相同中点且距离相同的两对不同的点。也就是说，交点正好对应于曲线上矩形的四个顶点。

这些（空间）相交的地方就是你要找的东西的地方，德纳说。矩形问题历史上的所有这些证明，很多人都有这样的想法。

哈格尔迈耶在四维空间中使用了交集策略，并且比他之前的任何人得到的都多。莫比乌斯带可以旋转0到360度之间的任意角度，他证明了三分之一的旋转产生了原始的和旋转后的副本之间的交集。这个事实实际上等于说，在一个封闭的曲线上，你可以找到拥有三分之一长宽比的矩形。

格林说:“科尔意识到应该考虑将莫比乌斯带放在四维空间中，并掌握四维技术，这要归功于他。”与此同时，哈格尔迈耶的结果很有争议，如果四维空间是解决这个问题的有效方法，为什么它只对三分之一的矩形有用呢?

辛对称

今年2月，洛布在冲绳科技学院主持了一次会议，格林也参加了这次会议。两人花了几天时间讨论这个问题。之后，他们在东京观光的一周时间里继续交谈。

他们的希望是证明每一次莫比乌斯带的旋转都会产生一个交点——这就相当于证明你可以找到具有所有可能长宽比的矩形。

4月中旬，他们想出了一个策略。它包括将条带嵌入一个特殊的四维空间中。使用普通嵌入，可以以任何方式放置嵌入的对象。想想在二维平面中嵌入一个一维闭环。您可以使用的方法数量是无限的，就像您可以在表上放置一个字符串循环的方法数量一样。

但假设你要嵌入循环的二维曲面有某种结构。举个例子，想象一下一幅有箭头（称为矢量）的地图，它显示了风在地球上吹的方向和速度。现在您有了一个在每个点上带有额外信息的二维表面。然后，您可以对一维闭环需要嵌入到这个映射上施加限制，以便它始终跟随所嵌入的箭头的方向。

其他类型的几何空间使得考虑其他类型的约束成为可能。格林和洛布的研究中被证明很重要的一个叫做辛空间。

这种几何最早出现于19世纪，当时人们对行星轨道等物理系统进行了研究。当行星在三维空间中运动时，它的位置由三个坐标确定。但爱尔兰数学家威廉·罗文·汉密尔顿观察到，在行星运动的每一点上，也可以放置一个矢量来表示行星的动量。

20世纪80年代，一位名叫弗拉基米尔·阿诺德的数学家详细阐述了辛几何的数学研究。他知道有辛结构的几何空间在旋转下比没有辛结构的空间更容易相交。

这对格林和洛布来说是完美的，他们想要通过证明参数化莫比乌斯带的旋转副本也与自身相交很多来解决所有长宽比的矩形问题。于是他们开始尝试将二维莫比乌斯带嵌入到四维辛空间中。

从辛几何的角度来看这个问题有一个关键的见解，这改变了游戏规则。

到4月底，格林和洛布已经确定，有可能以符合四维辛空间结构的方式将莫比乌斯带嵌入四维辛空间中。完成这些之后，他们就可以开始使用辛几何的工具了——其中许多工具直接涉及到空间如何相交的问题。

格林和洛布在这一点上很有信心，他们可以改进哈格尔迈耶的结果——这意味着他们可以证明超过三分之一的旋转会产生一个交集。这反过来将意味着超过三分之一的矩形长宽比，可以在任何闭合曲线上找到点。

但是他们的结果比他们预期的更彻底，来得更快。原因与一个古怪的数学物体有关，这个物体叫做克莱因瓶，当考虑到辛几何时，它有一个重要的性质。

克莱因瓶

克莱因瓶是一个二维表面，看起来像一个现代的水壶。就像莫比乌斯带一样，它只有一面。任何克莱因瓶。没有办法将克莱因瓶嵌入在三维空间，使它不交叉自己。

不过，情况并不总是这样。在四维空间中，可以嵌入克莱因瓶，使其不相交。第四维空间提供了额外的回旋余地，使克莱因瓶避免与自己相交。这就像两个人在一维的直线上走向对方时，不由自主地会发生碰撞，但两个人在二维的平面上走向对方时，很容易就会突然转向。

今年5月，格林和洛布碰巧记得一个关于克莱因瓶的有趣事实：它不可能嵌入四维辛空间而不交叉自身。格林和洛布已经证明了在四维辛空间中嵌入莫比乌斯带是可能的，这种方法遵循空间的规则。他们真正想知道的是莫比乌斯带的每一次旋转是否都与原始曲线相交。

两个相互交叉的莫比乌斯带相当于一个克莱因瓶，在这种空间中与自身相交。如果你旋转一个莫比斯带这样旋转后的复制品不会与原来的复制品相交，本质上你就得到了一个不相交的克莱因瓶。但这样的克莱恩瓶在四维辛空间是不可能的。因此，嵌入的莫比乌斯带带的每一次可能的旋转都必须与自身相交——这意味着每条封闭的、光滑的曲线都必须包含四个点的集合，这些点可以被连接在一起，形成具有所有高宽比的矩形。

最后，结论像雪崩一样来了。

格林和洛布的证明是一个很好的例子，说明解决一个问题通常取决于找到正确的角度来考虑它。一代又一代的数学家都没能解决这个矩形桩的问题，因为他们试图在更传统的几何设置中解决它。格林和洛布一进入辛空间的世界，这个问题就悄声消失了。