一個閉合環路包括所有矩形的角嗎？今年3月中旬，數學家喬舒亞·格林和安德魯·洛布因疫情原因只能待在家中。他們決定全身心投入到研究中來解決這個問題。這兩個朋友看到的其中一個問題是一個世紀以前的幾何問題。

它以一個閉合的循環開始。格林和洛布研究的問題預測，基本上，每條這樣的路徑都包含四個點組成的集合，它們構成任意比例的矩形的頂點。

雖然這個“矩形問題”看起來簡單，但幾十年來，數學家們一直在努力解決這個問題。當格林和洛布開始着手解決這個問題時，他們沒有任何特別的理由認爲自己會有所突破。在5月19日，當世界部分地區剛剛開始重新開放時，他們發佈了一個解決方案。

回顧矩形問題

矩形問題是德國數學家奧托·託普利茲在1911年提出的一個問題的一個近似分支。他預言，任何一條閉合曲線都包含四個可以連接起來形成正方形的點。

格林說：“這是一個老而棘手的問題，沒有人能夠解決。”

要理解爲什麼這個問題如此困難，瞭解一些關於矩形問題所討論的曲線類型是很重要的，這對格林和洛布的證明也很重要。

這對搭檔解決了一個關於既“連續”又“光滑”的閉合曲線的問題。光滑連續的曲線與僅僅連續但不光滑的曲線形成對比。有許多角的曲線的一個突出的例子是分形的科赫雪花，它實際上是由角組成的。科赫雪花和其他類似的曲線，無法用微積分和相關方法進行分析，這使得研究它們特別困難。

一些連續的（非光滑的）曲線真的很糟糕。

矩形樁問題的第一個重大進展是由赫伯特·沃恩在20世紀70年代末的一個證明中取得的。這個證明開創了一種思考矩形幾何的新方法。沃恩沒有把矩形看成四個連接點，而是把它看成兩對彼此有特殊關係的點。

畫一個頂點標記爲ABCD的矩形，從左上角順時針方向。在這個矩形中，這對點AC（沿着矩形的對角線）之間的距離等於這對點BD（沿着另一條對角線）之間的距離。這兩條線段也在它們的中點相交。

因此，如果你在一個閉合的循環中尋找矩形，一個方法就是尋找它上面具有這一特性的對點：它們形成具有相同中點的等長線段。要找到它們，很重要的一點是要用一種系統的方式來思考它們。

爲了理解這是什麼意思，讓我們從一些更簡單的東西開始。取標準數軸，在上面選擇兩個點上，比如7和8的，把它們畫成xy平面上的一個點（7，8），像（7，7）這樣的點也是允許的。現在考慮可以從數軸中提取的所有可能的數字對。如果你要畫出所有這些點對，就填滿了整個二維xy平面。

沃恩對閉合曲線上的點對做了類似的處理。他意識到如果你從曲線上取幾對點並把它們畫出來（不用考慮哪個是x座標，哪個是y座標），你不會得到平坦的xy平面。相反，你會得到一個令人驚訝的形狀：莫比烏斯帶，這是一個只有一面的二維表面。

從某種意義上說，這是有道理的。在曲線上取一對點，標記爲x和y，沿着曲線的一條弧線從x移動到y同時沿着曲線的互補弧從y移動到x。在此過程中，你移動了曲線上所有的點對，從無序點對開始到無序點對結束。這種無序點的方向翻轉回路形成了莫比烏斯帶的核心。

該莫比烏斯帶爲解決矩形樁問題提供了一個新的分析對象。沃恩用這個事實證明了每條這樣的曲線都包含至少四個組成矩形的點。

四維的答案

格林和洛布的證明建立在沃恩的基礎上。但它還結合了其他一些結果，其中一些是最近纔得到的。最後的證明就像一個精密的儀器，有正確的想法組合來產生他們想要的結果。

他們的證明最早出現在2019年11月，當時普林斯頓大學的研究生科爾·哈格爾邁耶發表了一篇論文，介紹了一種分析沃恩的莫比斯帶的新方法。這項工作涉及一個被稱爲嵌入的數學過程，在這個過程中，你把一個物體移植到一個幾何空間中。格林和洛布最終將哈格爾邁耶的技術應用到另一個幾何空間。

下面是一個關於嵌入的簡單例子。

從一維的直線開始。直線上的每個點都由一個數字定義。現在把這條線“嵌入”到二維空間中——也就是說，在平面上畫出它。

一旦將直線嵌入到xy平面中，該平面上的每個點都由兩個數字定義——指定該點在平面中的確切位置的x和y座標。有了這些設置，你就可以開始使用二維幾何技術來分析這條線了。

哈格爾邁耶的想法是對莫比斯帶做類似的事情，把它嵌入到四維空間中，在那裏他可以用四維幾何的特徵來證明他想要的關於矩形的結果。

基本上，你已經有了你的莫比烏斯帶，對於它上面的每個點，你要給它四個座標。你給每個點一個四維空間的地址——洛布說

哈格爾邁耶創建這些地址的方式對於尋找曲線上的矩形這一總體目標特別有用。與郵政地址一樣，你可以認爲他爲曲線上的每個點分配了省、市、街道名稱和街道編號。

爲了做到這一點，他從莫比烏斯帶上的一個給定點開始，觀察它所代表的原始閉合曲線上的兩個點。然後他找到了這兩個點的中點並確定了它的x和y座標。這是四維地址中的前兩個值（將它們看作省和市）。

接下來，他測量了曲線上兩個原始點之間的直線距離。這個長度成爲四維地址中的第三個值（可以把它想象成街道名）。最後，他計算出了通過原始兩點的直線與x軸相交的角度。這個角度變成了四維地址中的第四個值（可以把它想象成街道號碼）。這四個值有效地告訴了你關於曲線上這對點的所有信息。

這個過程可能看起來很複雜，但它給哈格爾邁耶帶來了迅速的回報。他拿起嵌入的莫比烏斯條帶並旋轉它，旋轉後的莫比烏斯條帶與原帶偏移，因此兩個副本相交。（因爲旋轉是在四維空間中進行的，所以很難想象莫比烏斯帶的兩個副本重疊的確切方式，但在數學上很容易獲得。）

這個交叉點很關鍵。在莫比烏斯帶的兩個副本重疊的地方，你會在形成矩形的四個頂點的原始閉合曲線上找到兩對點。

爲什麼？

首先，一個矩形可以被認爲是共享中點的兩對點，它們之間的距離相等。這正是在嵌入的莫比烏斯帶上分配給每個點的四維地址的前三個值中編碼的信息。

其次，可以在四維空間中旋轉Mobius帶，這樣您只改變每個點的四座標地址中的一個座標，就像改變一個街區內所有房屋的街道號碼，但保持街道名稱、城市和省不變。

哈格爾邁耶解釋瞭如何在四維空間中旋轉莫比烏斯帶，使編碼兩點之間中點的兩個座標保持不變，編碼兩點之間距離的座標也保持不變。旋轉只改變了最後一個座標——關於兩點對之間的線段角度的編碼信息。

因此，旋轉後的莫比烏斯帶副本與原副本的交點恰好對應於閉合曲線上具有相同中點且距離相同的兩對不同的點。也就是說，交點正好對應於曲線上矩形的四個頂點。

這些（空間）相交的地方就是你要找的東西的地方，德納說。矩形問題歷史上的所有這些證明，很多人都有這樣的想法。

哈格爾邁耶在四維空間中使用了交集策略，並且比他之前的任何人得到的都多。莫比烏斯帶可以旋轉0到360度之間的任意角度，他證明了三分之一的旋轉產生了原始的和旋轉後的副本之間的交集。這個事實實際上等於說，在一個封閉的曲線上，你可以找到擁有三分之一長寬比的矩形。

格林說:“科爾意識到應該考慮將莫比烏斯帶放在四維空間中，並掌握四維技術，這要歸功於他。”與此同時，哈格爾邁耶的結果很有爭議，如果四維空間是解決這個問題的有效方法，爲什麼它只對三分之一的矩形有用呢?

辛對稱

今年2月，洛布在沖繩科技學院主持了一次會議，格林也參加了這次會議。兩人花了幾天時間討論這個問題。之後，他們在東京觀光的一週時間裏繼續交談。

他們的希望是證明每一次莫比烏斯帶的旋轉都會產生一個交點——這就相當於證明你可以找到具有所有可能長寬比的矩形。

4月中旬，他們想出了一個策略。它包括將條帶嵌入一個特殊的四維空間中。使用普通嵌入，可以以任何方式放置嵌入的對象。想想在二維平面中嵌入一個一維閉環。您可以使用的方法數量是無限的，就像您可以在表上放置一個字符串循環的方法數量一樣。

但假設你要嵌入循環的二維曲面有某種結構。舉個例子，想象一下一幅有箭頭（稱爲矢量）的地圖，它顯示了風在地球上吹的方向和速度。現在您有了一個在每個點上帶有額外信息的二維表面。然後，您可以對一維閉環需要嵌入到這個映射上施加限制，以便它始終跟隨所嵌入的箭頭的方向。

其他類型的幾何空間使得考慮其他類型的約束成爲可能。格林和洛布的研究中被證明很重要的一個叫做辛空間。

這種幾何最早出現於19世紀，當時人們對行星軌道等物理系統進行了研究。當行星在三維空間中運動時，它的位置由三個座標確定。但愛爾蘭數學家威廉·羅文·漢密爾頓觀察到，在行星運動的每一點上，也可以放置一個矢量來表示行星的動量。

20世紀80年代，一位名叫弗拉基米爾·阿諾德的數學家詳細闡述了辛幾何的數學研究。他知道有辛結構的幾何空間在旋轉下比沒有辛結構的空間更容易相交。

這對格林和洛布來說是完美的，他們想要通過證明參數化莫比烏斯帶的旋轉副本也與自身相交很多來解決所有長寬比的矩形問題。於是他們開始嘗試將二維莫比烏斯帶嵌入到四維辛空間中。

從辛幾何的角度來看這個問題有一個關鍵的見解，這改變了遊戲規則。

到4月底，格林和洛布已經確定，有可能以符合四維辛空間結構的方式將莫比烏斯帶嵌入四維辛空間中。完成這些之後，他們就可以開始使用辛幾何的工具了——其中許多工具直接涉及到空間如何相交的問題。

格林和洛布在這一點上很有信心，他們可以改進哈格爾邁耶的結果——這意味着他們可以證明超過三分之一的旋轉會產生一個交集。這反過來將意味着超過三分之一的矩形長寬比，可以在任何閉合曲線上找到點。

但是他們的結果比他們預期的更徹底，來得更快。原因與一個古怪的數學物體有關，這個物體叫做克萊因瓶，當考慮到辛幾何時，它有一個重要的性質。

克萊因瓶

克萊因瓶是一個二維表面，看起來像一個現代的水壺。就像莫比烏斯帶一樣，它只有一面。任何克萊因瓶。沒有辦法將克萊因瓶嵌入在三維空間，使它不交叉自己。

不過，情況並不總是這樣。在四維空間中，可以嵌入克萊因瓶，使其不相交。第四維空間提供了額外的迴旋餘地，使克萊因瓶避免與自己相交。這就像兩個人在一維的直線上走向對方時，不由自主地會發生碰撞，但兩個人在二維的平面上走向對方時，很容易就會突然轉向。

今年5月，格林和洛布碰巧記得一個關於克萊因瓶的有趣事實：它不可能嵌入四維辛空間而不交叉自身。格林和洛布已經證明了在四維辛空間中嵌入莫比烏斯帶是可能的，這種方法遵循空間的規則。他們真正想知道的是莫比烏斯帶的每一次旋轉是否都與原始曲線相交。

兩個相互交叉的莫比烏斯帶相當於一個克萊因瓶，在這種空間中與自身相交。如果你旋轉一個莫比斯帶這樣旋轉後的複製品不會與原來的複製品相交，本質上你就得到了一個不相交的克萊因瓶。但這樣的克萊恩瓶在四維辛空間是不可能的。因此，嵌入的莫比烏斯帶帶的每一次可能的旋轉都必須與自身相交——這意味着每條封閉的、光滑的曲線都必須包含四個點的集合，這些點可以被連接在一起，形成具有所有高寬比的矩形。

最後，結論像雪崩一樣來了。

格林和洛布的證明是一個很好的例子，說明解決一個問題通常取決於找到正確的角度來考慮它。一代又一代的數學家都沒能解決這個矩形樁的問題，因爲他們試圖在更傳統的幾何設置中解決它。格林和洛布一進入辛空間的世界，這個問題就悄聲消失了。