关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用
关于四点共圆的几个命题以及反证法的运用
命题1
如图1，O为△ABC内一点，若OA＝OB＝OC，则∠BOC＝2∠BAD．
这是一个真命题，
我们可以延长AO，利用三角形外角的性质以及“等边对等角”给出证明．
其实，只要点O，A在BC的同侧，都可以证明∠BOC=2∠BAD．解题思路我们并不陌生，与证明圆周角定理完全一样．
命题2
如图2，O为△ABC内一点，如果OB＝OC，且∠BOC＝2∠BAC，那么OA＝OB．
这个命题可以看作是命题1的逆命题，它也是真命题．
用反证法证明如下：
如答图1， 延长AO，
则∠1=∠2+∠3，
假设OA＜OB，
则∠3＜∠2．
∴∠2+∠3＜2∠2．
∴∠1＜2∠2．
同理，∠4＜2∠5．
∴∠1+∠4＜2(∠2+∠5)．
即∠BOC＜2∠BAC．
这个结论与已知条件矛盾，
∴原假设不成立．
同样的道理，如果假设OA＞OB，也可以证明这个假设不成立．
∴OA=OB．
拓展
与命题1类似，只要点O，A在BC的同侧，结论都成立．
思考
如果不用反证法，可以证明吗？
答案是肯定的，但是比较繁，详见附录1．
命题3
如图3，点A，D在BC的同侧，若∠BAC=∠BDC，则A，D，B，C四点共圆．
与命题2一样，我们照样用反证法证明这个命题是真命题．
如答图2，过A，B，C三点作⊙O．假设点D在圆外，CD与⊙O交于点E，连接BE．
依据圆周角定理的推论“同弧所对的圆周角相等”，得∠BEC=∠A．
依据三角形外角的性质，
得∠BDC＜∠BEC，
所以∠BDC＜∠BAC．
这与已知条件矛盾，假设不成立．
同样的道理，点D也不能在⊙O内．
所以点D在⊙O上，即A，D，B，C四点共圆．
拓展
能够不用反证法吗？
答案也是肯定的，证法详见附录2．
附录1
不用反证法，证明命题2
如图4，O为△ABC内一点，若OB＝OC，且∠BOC＝2∠BAC，求证OA＝OB．
证明
过程有点繁，下面我们把它分为六大步．
第一步，先证∠BAC＝∠ABO＋∠ACO．
如答图3，延长AO，
由三角形外角的性质，得
∠BOC＝∠BAC＋∠ABO＋∠ACO．
∵∠BOC＝2∠BAC．
∴∠BAC＝∠ABO＋∠ACO．
由轴对称性，得∠OBM＋∠OCN
＝2(∠OBA＋∠OCA)
＝2∠BAC＝∠BOC．
第二步，如答图4，分别作点O关于AB，AC的对称点M，N，然后证明∠OBM＋∠OCN＝∠BOC．
由轴对称性，得∠OBM＋∠OCN
＝2(∠OBA＋∠OCA)
＝2∠BAC＝∠BOC．
第三步，进一步证MB∥NC．
如答图5，在平行线一章，这是一道很经典的题目，故省略具体步骤．
第四步，如答图6，在答图4的基础上，连接MN，可以证明MN=BC．
∵MB＝OB＝OC＝NC，
又MB∥NC(已证)，
∴四边形MBCN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴MN＝BC．
第五步，如答图6，可以证明△AMN≌△OBC．
由轴对称，得AM＝AO=AN，且∠MAN＝2∠BAC＝∠BOC．
依“等边对等角”以及三角形的内角和定理，得
∠AMN=∠ANM=∠OBC=OCB．
∴△AMN≌△OBC．
第六步，最后证明OB＝OA．
∵△AMN≌△OBC，
∴AM＝OB．
又AM＝AO，
∴OA＝OB．
评析
据说，这个命题有很多种证法，但都比较繁，还是用反证法好．
亲爱的朋友，你有好的证法吗？
附录二
不用反证法证明命题3
如图5，点A，D在BC的同侧，若∠BAC=∠BDC，求证A，D，B，C四点共圆．
证明
如答图7，设△ABC的外心为点O（外心即外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点），连接OA，OB，OC，
则OA=OB=OC．
依命题1，还可以得到
∠BOC=2∠BAC．
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠BOC=2∠BDC．
连接OD.
再根据命题2，得
OD=OB．
∴OA=OB=OC=OD．
∴A，D，B，C四点共圆．
评析
因为把命题1和命题2当作定理使用，所以证题显得比较简单．
温馨提示
四点共圆在新课标中不作要求.
