來源：中科院物理所

明天就是除夕了，要說起回家過年，那我可就不困了。每年過年回家後，只需要張口喊一聲“媽~”，就能滿足自己心中那股原始的乾飯慾望。

有些在外工作的打工人朋友跟我說，他們決定今年不回家過年了，留在公司加班。不僅薅了老闆的羊毛，還響應了國家“原地過年”的號召。

說到國家提倡的“原地過年”，其實背後是有着充分的科學依據的。我們今天就來聊一聊傳染病的數學模型。

首先讓我們來看看建立模型需要用到哪些參數吧！

01

人羣分類

一般情況下將人羣分爲四類：易感者、暴露者、感染者、康復者，每類人的數量分別用大寫字母S，E，I，R來表示。

S

易感者（Susceptible）：

尚未得病的人，由於缺乏免疫能力，與感染者接觸後容易受到感染。

E

暴露者（Exposed）：

指接觸過感染者，但不存在傳染性的人，常用於存在潛伏期的傳染病模型中。

I

感染者（Infectious）：

已經被感染，並且有傳染他人能力的人，可以將疾病傳播給“S“類人，使其變爲”E“類或者”I“類成員。

R

康復者（Recovered）：

指被病癒後具有免疫力的人，如果是終身免疫性傳染病，則不可重新變爲“S”類、”E”類、”I”類人員；如果免疫期有限，就可以重新變爲”S”類人，進而再次被感染。

除此之外，想要描述傳染病的模型、建立方程還需要一些其他參數：β表示接觸傳染率，δ爲潛伏期發病率，μ代表治癒率，總人口N；小寫字母s，e，i，r代表某一類人佔總人數的比例。

有了這些，接下來我們就可以開啓建立模型的旅程啦~

02

三個簡單模型

SI模型

適用範圍：

SI模型適用於沒有潛伏期，無免疫力，無治癒情況的疾病。感染者I通過接觸將易感者轉變爲感染者。

建立動力學微分方程，單位時間內，感染者每天增加數量與易感者比例、感染者人數、以及傳染率正相關。同時，感染者增加了多少人，易感者就減少了多少人：

限制條件，總人口由易感者和感染者兩部分組成：

解方程得到：

圖 | 感染者人數隨時間變化（來源：參考文獻[5]）

隨着時間t→∞，感染者比例 i 趨近於1，這意味着所有人都將被感染。

我們也可以把每一類人想象成一個儲水槽，這樣問題直接就簡化成了小學應用題。S裏的水源源不斷流到I中，直到S中沒有水了，所有的水全都轉移到了I中。

SIR模型

適用範圍：

SIR模型適用於無潛伏期，被治癒者終身免疫的疾病

建立動力學微分方程：

以及限制條件：

遺憾的是，這個方程沒有解析解，只能在給定初始條件的情況下通過計算機進行數值求解，小編也無能爲力。。。。。。

BUT！

我們仍然可以用小學水池排水注水來定性分析。與之不同的是，一旦I水槽中沒水了（感染者消失），那麼整個過程將立即停止。所以我們關注I水槽中的情況，易感者被感染類比成向I水槽中注水過程，感染者被治癒類比成I水槽向外排水過程。

圖 | 情況①三類人數量變化曲線（來源：參考文獻[5]）

情況①：當注水量大於排水量時，所有水都會經過I水槽流入R水槽中。即所有人最後都會經過被感染後康復的過程成爲康復者。

圖 | 情況②三類人數量變化曲線（來源：參考文獻[5]）

情況②：當注水量小於排水量時，I水槽裏的水會隨着時間的推移在某一時刻排幹。這意味此時人羣中不存在感染者了，那麼整個注水排水過程將立即停止。最終，人羣中會剩餘一部分沒有感染疾病的幸運兒，其餘人都是經歷了感染階段的康復者。

emmm。。。。。。

SEIR模型

適用範圍：

SEIR模型適用於存在潛伏期，治癒後獲得終身免疫的疾病。

建立微分方程：

限制條件：

同樣，這個模型也沒有解析解，我們仍然可以利用小學水槽注水應用題來類比。。。。。。（打斷施法）

那這裏附上一張一般情況的各類人羣比例走勢圖：

圖 | 四類人在人羣中佔比走勢圖（來源：小編 前進四）

關於如何用小學數學題類比分析的問題就留給大家，歡迎大家在留言區把自己的思考分享給我們~

03

考慮人口流動的SEIR模型

上面我們介紹的這些模型，都是沒有考慮人口流動的最最簡單的單一羣體模型。接下來我們再來看一個相對來說更加細緻的，考慮人口流動的SEIR複合羣體模型。

除了之前設置的參數外，還增設A爲常數流動人口（設流動人口都是易感者），k爲自然死亡率，α爲因病死亡率。

動力學微分方程：

限制條件：

這個模型比較複雜，這裏簡要介紹一下結論，我們先引入一個基本再生數的概念：

基本再生數RN（Basic Reproduction Number ）就好比一個開關：

圖 | A/N較小，使得RN≤1時各類人羣佔比走勢圖（來源：小編 前進四）

① 當系統參數使得RN≤1時，系統存在唯一的平衡點叫無病平衡點。顧名思義，隨着時間的增加，最終疾病被消滅，人羣中只有易感者和康復者。

圖 | A/N較大，使得RN＞1時各類人羣佔比走勢圖（來源：小編 前進四）

② 當系統參數使得RN＞1，存在唯一的平衡點叫做地方平衡點。這種情況下，疾病並不會消失，而是一直存在於人羣之間。

對比上面兩種情況不難發現，對於某一特定疾病來說，自然情況下的自然死亡率k，因病死亡率α，傳染率β等參數一般來說不變。那麼影響基本再生數的即爲總人口N和人口流動數A。隨着人口流動A的增加，RN將越來越大，當RN跨越1這個閾值的時候，系統中的疾病將一直存在下去。因此減少人口的流動，將更加有利於消滅疾病。而這就是我們國家提倡原地過年的科學依據！

相較於前面的基本的SEIR模型，這個考慮了人口流動的SEIR模型能更好的描述出新冠病毒特性。儘管有諸多因素沒有被考慮進去，如：出生率，個體間差異，新冠病毒潛伏期也具備傳染性等，但作爲定性反映流動人口於病毒傳播的模型也已經足夠了。

如今，疫情還沒有結束，小編建議親愛的友友們平日裏做好防護，減少出行。宅在家中刷刷劇、喫喫瓜；和家人們聊聊天、視視頻，平平安安地度過春節。

最後，祝大家新年快樂！牛年吉祥！