作者/霍思伊

編輯/杜瑋

對數論學家而言，存在兩個宇宙。第一個宇宙中，存在朗道-西格爾零點，第二個宇宙中，不存在。“我們的困惑是：現在到底生活在哪個宇宙裏？”

這種類似平行宇宙的設定，讓人印象深刻。這段話出自美籍華裔數學家、美國加州大學聖塔芭芭拉分校數學系教授張益唐。幾百年來，數學家們一直在試圖回答這個問題，現在，張益唐似乎給出了初步答案。

11月4日上午，張益唐向預印本平臺arXiv提交了一份長達111頁的論文《離散平均數估計和朗道-西格爾零點》，論文尚未接受同行評審。論文部分證明了朗道-西格爾零點不存在。專家指出，這一成果可能比之前讓張益唐“一戰成名”的孿生素數猜想還要重大。如果張益唐的研究經證明是正確的，將推動多個數學領域全方位的進步。

11月8日上午，張益唐在北京大學做線上學術報告時說：“這一次解決朗道-西格爾零點，確實是在大海里落針。”他介紹，在解決其中關鍵步驟時，曾嘗試了各種辦法和工具，但最後一步就是跨不過去，後來想到了一個新的想法：通過引進四個序列，最終推出了矛盾。“能做到這一步，我是幸運的，只有把一些事情做到極致，才能找到這樣的關係式出來。”

（資料圖片）張益唐。圖/王旭華

“夢寐以求去證明零點不存在”

11月5日上午，山東大學舉辦了一場關於張益唐朗道-西格爾零點猜想的研討會，會上，張益唐夫人孫雅玲感慨：“他鑽研數學鑽得有點神經了，每天早上七點多天矇矇亮，拄着柺杖、揹着書包就走了。晚上走回家就七點了。回到家，研究做不出來就一直嘟囔：‘零點、零點’，連我都知道零點了。我就想了個辦法，每天晚上把菜準備好，讓他回來炒菜，把注意力分散一點。”

朗道-西格爾零點究竟是一個什麼問題？

張益唐曾說，他夢寐以求地是“想去證明這樣一個零點不存在”，因爲一旦發現零點存在，整個廣義黎曼猜想就錯了。

無論廣義黎曼猜想還是黎曼猜想，都是爲了解決素數的分佈問題。素數指的是一類大於1的自然數，只能被1和它自身整除。素數研究是數論中的一個根本問題，如果能破解它的分佈之謎，很多現有的猜想都能得到答案。

早在18世紀，人類就已經證明素數無限多，但對於素數的分佈有很多困惑。19世紀，在瑞士數學家歐拉的研究基礎上，黎曼構建了黎曼ζ函數，並且認爲素數分佈只與黎曼ζ函數的一種類型零點有關。原始的黎曼猜想是，所有這些零點都分佈在實部等於二分之一的一條垂直線上。

黎曼猜想提出後，爲研究等差數列上的素數分佈問題，德國數學家狄利克雷1837年又引入了狄利克雷L函數，相當於上述黎曼函數的推廣形式。數學家們推測，狄利克雷L函數上的零點也都位於實部等於二分之一的直線上，這就是廣義黎曼猜想。如果證明了廣義黎曼猜想，也就等於證明了黎曼猜想。

雖然黎曼猜想和廣義黎曼猜想一直沒有被證明，但數學家們基本默認了其真實性，除了一個例外，就是朗道-西格爾零點。德國數學家西格爾和其導師朗道在研究狄利克雷L函數時發現一個反例，一個異常零點可能不分佈在那條直線上。這在一定程度上推翻了廣義黎曼猜想。

朗道和西格爾後來又通過一些方法證明了這樣的反例零點最多隻有一個，但數學家們一直致力於證明：這樣的反例並不存在。

西安交通大學數學與統計學院教授郗平對《中國新聞週刊》說，朗道-西格爾零點是近百年前人們在研究狄利克雷L函數時所發現的“怪物”。它若存在，那麼原始的黎曼猜想就無法直接推廣到狄利克雷L函數的情形。朗道和西格爾等人分別對這一特殊零點的位置給了“初步的控制”，但因方法所限，其中涉及的常數無法定出，這給很多數學中的應用帶來本質障礙。

這也是爲什麼張益唐的證明如此重要，因爲一百多年來，零點問題一直是解決很多數論問題的瓶頸，很多專家都對其發起了“進攻”但最終失敗。

張益唐的思路有何創新和突破之處？

張益唐的博士生、現在加拿大女王大學數學與統計學讀博後的阮大衛對《中國新聞週刊》解釋，張益唐使用了一種經典的證明策略“矛盾證明法”。他首先假設朗道-西格爾零點“以弱形式存在”，結果發現，這會導致狄利克雷L函數中其他零點以非常規則的間距排列起來，“就像遊行中的士兵隊伍一樣”。

阮大衛解釋說，但實際上，這些零點應是隨機分佈的，連續零點之間的間距是不可預測的，“類似於高速公路上的汽車—有時兩輛車相隔幾英里，有時是保險槓對保險槓”。這種零點間隔的極端規律性，反過來證明了朗道-西格爾零點不存在。

簡而言之，先是假設，最後發現結果矛盾，從而證明假設不成立。

長期從事數論研究的山東大學副校長劉建亞對《中國新聞週刊》說，如果單從論證上看，張益唐使用了一種經典的辦法，但他把經典的方法發揮到極致，使用經典方法上，其中的一些創新和突破“非同凡響”。“經典的方法已經是千錘百煉，你要想在這個方面還有所突破，一定要比別人看得更深。”他說。

距離真正解決黎曼猜想還有很遠

如果翻開張益唐的這篇論文，會發現摘要很短，風格是他一向的簡潔清晰，其中只列出了一個公式，公式中函數的指數是-2022，“顯然是在致敬今年。”知名計算數學家、中國科學院院士、北師—港浸大聯合國際學院校長湯濤對《中國新聞週刊》說。

他還提到，在論文中，張益唐給出了兩個定理，其中一個定理中指數則是-2024。湯濤解釋，-2024如果變成-1，就相當於證明了原始形式的朗道-西格爾零點猜想，因此張益唐還沒有完全解決零點問題，而是證明了朗道-西格爾零點猜想的一個變形：“一種相對弱的形式”。

但多位專家指出，對數論領域而言，這仍然是一個巨大的突破，和以前相比是“質的飛躍”。“都說研究零點問題是大海撈針，張益唐已經在在大海里撈到了一個臉盆，以前人們在大海里完全不知道方向，現在至少接下來至少知道要怎麼做了，這是他的突破性所在。”湯濤說。

劉建亞強調，在數學意義上，2024與1沒有實質性差別。“就像張益唐證明孿生素數猜想時，他證明的是‘存在無窮多對素數，其差值不超過7000萬’，而原始猜想要求‘差值等於2’。從數學意義上來講，7000萬和2沒有本質差別，因爲在此前結果中這個差值可以趨於無窮，現在已經降到了有限數7000萬。”

在北大報告會上，當有學生問張益唐：“指數2024可以改進到什麼程度？”張益唐說：“很多步驟還可以更精細，到幾百是可以的，但如果要到1，目前這個辦法是不夠的。”他表示，論文目前還需要進一步修改和補充，更關鍵的是“做簡化”。

郗平也說，現在張益唐是在一個“稍小的範圍裏”證明了零點不存在，雖然範圍有點小，但是比以前的範圍要大得多。從純數學的角度而言，在量級上是一個飛躍。這一工作若得到證實，將在素數相關的核心問題上得到應用，且其中產生的方法論將爲解析數論帶來革命性改變。

但他也指出，證明黎曼猜想和廣義黎曼猜想，就是數學家們不斷向實部是二分之一的那條直線靠近的過程。但按照張益唐目前的方法，距那條直線還很遙遠，也就是說，真正解決黎曼猜想和廣義黎曼猜想的希望還很渺茫。

張益唐的學生阮大衛說，張益唐的研究不僅在解決朗道-西格爾猜想上實現了巨大飛躍，而且他的結果“強大而乾淨”，可以立即爲解析數論領域的其他研究者使用，從而迅速推進數學和科學，可能改變數論中傳統證明的方式。他認爲，如果結果正確的話，這將是1896年證明素數定理以來，過去125年來數論中得到的最好的結果之一。

劉建亞指出，與孿生素數猜想相比，朗道-西格爾零點問題更具有基礎性和根本性，尤其對解析數論而言，很多數論問題的解決都要依賴於朗道-西格爾零點的表現，比如偶數的哥德巴赫猜想例外集的研究。

在他看來，張益唐的孿生素數猜想，算是某種程度振興瞭解析數論，這次關於零點問題的突破，如果經過驗證正確的話，進一步振興瞭解析數論這門學問。

青年時期一直想做的“大問題”

上一次，張益唐帶來如此重大的成果還是在2013年，他憑藉一篇《素數間的有界距離》一夜成名，創下了數學頂刊《數學年刊》百年來最快的過審記錄。但他自己說，與朗道-西格爾零點問題相比，對孿生素數猜想的研究只能算是“走上一條岔道”，這一次，他回到主路，終於攻克了自己從青年時期一直想做的“大問題”。

與突破孿生素數猜想時的靈光一現相比，對朗道-西格爾零點的研究更像是一次長期的漫行。孤獨一直伴隨着他，有時也會在心靈深處感到疲憊，看不到希望，但他仍在一小步一小步向前走。直到二十多年後，他緩慢而堅定地，走到了路的終點。

湯濤曾問他，這二十多年來是如何堅持下來？張益唐說，就是每天不中斷思考，去海邊散步時、聽音樂會時都在思考。但有時遇到瓶頸了，也會暫時停下來，比如去做孿生素數猜想，中斷一會，但很快，還會繼續回到這個問題。因爲它一直在他的腦海中揮之不去。

張益唐說，自己做學問的風格，即如果一件事喜歡幹，就告訴自己，要把這個證明弄懂，這是很重要的。做數學要往深了鑽，但有的時候，不知道怎麼往前走的時候，最好能停一下，回到出發點，問一下自己想做什麼。

2013年7月，張益唐發表孿生素數猜想結果不久，數學家季理真、翁秉仁曾對他做過一期專訪。採訪者說，數學家是要選擇解決幾百年沒有攻克的“大問題”，還是“即使結果小也有意義”的問題。有人不鼓勵大家研究黎曼猜想，“因爲沒有就什麼都沒了”。張益唐連忙說，還是希望有人即使在做別的東西時，保持某些你有興趣的困難問題，例如黎曼假說…“像這種東西你可以儘想象力去試，不要以爲前人所做的已經窮盡了。”

湯濤眼中，張益唐是那類很罕見的“真正做數學的人”，只追求簡單的數學之美，寫的文章也美，只想要解決一些多年來解決不了的“數學上的本質問題”。他也很執着，會按照原來的思路一直往前走，如果有些東西還沒想透，就會花很多時間想，直到想通爲止。“目前對朗道-西格爾零點問題，他認爲已經解決了。”

北大報告會的最後，張益唐意味深長地說：“在數論裏沒有什麼東西是一定不可能的，我用了這麼多年去大海撈針，針沒撈到，海底地貌反而弄清楚了，最後發現，其實不需要這根針也能達到終點。”

湯濤說，張益唐這篇論文很簡潔，思路清晰，但篇幅比孿生素數論文要長，審稿週期估計需要一個多月，而結果是否正確，經過最嚴格的驗證後，三四個月後應該會有一個最終結論。他還透露，張益唐下一步的研究方向可能是解決哥德巴赫猜想，這也是數學史上的“大問題”，“中國數學家很早就對這個猜想感興趣，但目前距離最終解決還有很大的距離。”