圓周率π的計算一直是數學界的一個熱門話題。自從古代以來，人們一直在嘗試用不同的方法計算π的值，這些方法包括使用幾何學、無限級數、積分等等。目前，已知的π的十進制表示精確到了數千億位，但是計算π的精確值仍然是一個挑戰。
π出現在很多數學公式中，如三角函數、複數等等。π在幾何學、物理學、天文學等領域中都有廣泛的應用。本文將介紹5個非常著名且美麗的π公式。

π的萊布尼茨公式

π的萊布尼茨公式的形式是
這個公式是由德國數學家萊布尼茨在17世紀提出的。這個級數是一個交錯級數，也就是說它的每一項都是正負交替出現的。通過加上一些項，我們可以用這個級數來近似計算π/4，而隨着項數的增加，我們可以得到更準確的近似值。
這個公式的證明可以使用數學歸納法和級數收斂定理。具體地，我們可以使用數學歸納法證明這個級數的前n項和是π/4的一個逼近值。然後，使用級數收斂定理可以證明這個級數收斂於π/4。
萊布尼茨公式是計算π的一種簡單方法，但是它的收斂速度相對較慢，因此在實際計算中通常使用其他更有效的方法。
證明
有很多方法可以證明這一公式，例如，我們可以證明函數arctan(z)的泰勒級數是下面的冪級數
當-1≤z≤1時收斂。如果讓z = 1，就能得到結果。所以，圓最終是藏在正弦和餘弦的角度之間，因爲我們最終要問的是，在哪個角度範圍內（-π/2 ≤ θ ≤ π/2），使得sin(θ) = cos(θ)，答案是弧度爲π/4。

沃利斯公式

1656年，約翰·沃利斯發表了π的沃利斯公式，指出π可以用以下無限積的形式給出。
證明
回想一下正弦函數的歐拉積公式，
令x = π/2，我們有
有時，這個結果可以用更簡潔的方式來寫出

貝塞爾問題

巴塞爾問題是一個著名的數學問題，也被稱爲巴塞爾（Basel）難題或巴塞爾和（Basel problem）。該問題最初由瑞士數學家Euler在1735年提出。
巴塞爾問題的具體內容是要求計算調和級數的和，即
調和級數是一個無限級數，每一項是其下標的倒數。如果將前n項相加，可以得到一個有限的部分和。當n趨向於無窮大時，這個和會趨向於無窮大。然而，巴塞爾問題要求計算這個級數的無窮和，即所有項相加的結果。
這個結果的證明涉及到複變函數、級數收斂性、調和函數等數學知識，被認爲是數學史上的一個經典結果。巴塞爾問題的解法也啓發了許多其他數學問題的研究，如黎曼猜想等。
證明
下面的證明是歐拉自己提出的。回想一下，正弦函數的泰勒展開式是無窮級數
sin函數也可以寫成無窮乘積，這個乘積需要一些證明，但歐拉確信這是可以的，所以他繼續寫
當然，作爲歐拉，他很容易就看出了因子中的平方倒數，並想把它們提出來。他把乘積乘出來，得到
現在，這個冪級數表示必須和泰勒級數展開式完全相同，因此係數也必須相同。特別地，x^3項的係數必須相等。把這個等式寫出來

布馮針問題（Buffon’s needle）

布馮針問題的問題是：一根長度爲L的針被隨機地拋到一塊地面上，這塊地面上畫有距離爲d的平行線條，針與任意一條線的夾角θ隨機取值，求針與任意一條線相交的概率。
解決這個問題需要使用概率論和幾何學的知識。最終的答案是2L/(πd)。這個結果是概率論的經典問題之一，對於概率論和統計學的發展有很重要的意義。
布馮針問題也是一個典型的蒙特卡洛模擬問題，可以通過生成隨機的針的位置和方向，計算針與線條相交的次數來估計概率。這種方法在實際應用中有着廣泛的應用，例如計算圓周率、模擬隨機過程等。
證明
爲了簡單和不失一般性，我們選擇針的長度爲1。想象一下，我們把平面放在笛卡爾座標系上，把一條垂直線放在y軸上。然後，我們用x表示針沿x軸的中心位置，用θ表示交點的極限角，即，如果針和x軸的夾角在x軸的±θ範圍內，則針位於垂直線上。它的圖示是這樣的：

如果針落在上圖的灰色區域內，那麼它將橫過垂直線。考慮一下這個問題，我們實際上只需要一個參數，因爲θ和x是因變量。特別地，三角函數cos(θ) = x。因爲我們想把灰色區域寫成x的函數，所以我們更願意把θ寫成x的函數，θ(x) = arccos(x)。
我們現在可以求出給定一個固定的中心x，即p(x) = 2θ(x)/π，針將穿過左邊垂直線的概率。這是因爲指針將始終在與x軸對應的左半圓的180度範圍內，因此所有可能結果的空間是π弧度，而期望結果的空間是2θ弧度，對應於灰色區域。
但我們想要的是隨機拋擲的針穿過任意一條線的概率。爲了得到這個，我們簡單地把從一條線到下一條線的無限多個可能中心對應的概率“加起來”。這是由積分給出的
因此，當隨機拋擲時，針橫在一條線上的概率正好是2/π≈0.6366，約爲64%。
1901年，意大利數學家馬里奧·拉扎里尼進行了布馮的針實驗。他把一根針扔了3408次，得出了π的近似值355/113，精確到小數點後6位。

高斯積分

它是以偉大的德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的名字命名的。積分如下
它也被稱作正態分佈積分，可以被看作如下圖中鐘形圖下的區域。

這個積分的解析式是不存在的，因此需要用一些特殊的方法來求解它。一個常見的方法是使用換元積分法結合對稱性，將其轉化爲另一個已知的積分的形式。但使用極座標的解更有啓發性，因爲它解釋了π的存在。
證明
令這個積分的值爲I，
對兩邊平方
現在我們的問題是求出上面被積函數的二維圖下的體積。注意，它在各個方向上都是旋轉對稱的
我們可以把它寫在極座標中，因爲r^2= x^2+ y^2，r的範圍是0到∞範圍，θ在0到2π弧度範圍內，因此
由於d/dr (-r²)= -2r，所以“逆”鏈式法則適用。因此我們得到
最後得到的結果是I^2= π。在這種情況下，π來自於二維高斯函數的旋轉對稱性，它是平行於xy平面的每一層的圓。
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