關於愛因斯坦的故事，各位模友也聽超模君講了不少，但是，牛人的故事，當然是怎麼講都不嫌多，怎麼聽都不會厭的。

今天，超模君再跟大家一起看一下12歲的愛因斯坦與勾股定理的故事吧。

作者：康奈爾大學數學教授史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）

譯者：王培

原文發表於 THE NEW YORKER 2015.11.19

原文標題爲 "Einstein’s First Proof"（“愛因斯坦的第一個證明”）

1949年11月26日，阿爾伯特·愛因斯坦在《週六文學評論》（Saturday Review of Literature）（譯註：美國文學評論雜誌）上發表了一篇文章，講述了自己童年時期的兩個重大時刻。

第一個時刻與指南針有關。4歲或5歲那年，他父親給了他一個指南針。愛因斯坦至今還記得他當時的那種驚訝：指針竟然總是指向北方，即便沒有任何東西把它拉到那個方向。就在那時，他得出了關於物理世界結構的一個結論：“事物背後必定有某種深藏不露的隱祕力量。”

第二個時刻發生在他剛滿12歲不久，他得到了“一本探討歐幾里得平面幾何的小冊子”。這本書的“清晰性”，他寫道——一個數學命題可以“被徹底證明，且沒有絲毫可質疑之處”的這樣一個事實——激發了他想要“瞭解一個全然不同的世界”的好奇心。純粹的思辨竟然可以具有地磁學那樣的力量。

這個月，我們將紀念愛因斯坦廣義相對論發表一百週年，而相對論是他以清晰的方式揭示給我們的諸多隱祕力量之一。媒體的紀念文章已多如牛毛，但如果我們能深入瞭解他實現了哪些成就，又是如何實現它們的，豈不更好。

然而，這幾乎是不可能完成的任務，因爲廣義相對論太複雜了。

當亞瑟·艾丁頓——這位英國天體物理學家帶領團隊在1919年的一次日食中證實了愛因斯坦的預測——被問到，在這個世界上是否真的只有3個人理解相對論時，他什麼都沒說。“不要這麼謙虛嘛，艾丁頓！”提問者說。“相反，”艾丁頓回應道，“我在想，誰有可能是那第三個人。”

幸好，我們還可以瞭解愛因斯坦早年的思考軌跡。

早在他得到那本幾何學的小冊子之前，他當工程師的叔叔雅各布（Jakob）就向他介紹了幾何學。愛因斯坦開始對畢達哥拉斯定理（也被稱爲“勾股定理”）着迷——“在付出大量努力之後”，他在《週六文學評論》的文章中寫道——最終，他親自證明了這個定理。我將帶你領略他的證明步驟，一步一步地來。這是愛因斯坦的第一個傑作，當然也是他最容易爲人理解的作品。

這一漂亮的推理過程揭示了他在思維、表達和性情方面的特點。他對對稱的敏感、他簡單的證明方法、他對傳統方法的不屑、他的韌勁、他用圖像幫助思考的習慣——所有這些特質都呈現在這個證明之中，正如它們後來又呈現在他的相對論中一樣。

你可能還記得，畢達哥拉斯定理是用一組符號來表達的：a²+b²=c²。它涉及到直角三角形，也即是，三角形的三個角中有一個直角（90度）。該定理是說，如果a和b是三角形腳邊（與直角相交的兩條邊）的長度，那麼，根據上面那個公式，我們就可以得到直角三角形斜邊（直角對面那條邊）的長度c。

每一年，全世界有數百萬中學生被學校灌輸了這一定理，但是絕大多數學生都沒認真思考過它，或許你也從來沒多想過。然而，一旦你開始認真思考，問題就來了。爲什麼它是正確的？人們是怎麼證明它的？爲什麼需要這個定理？

爲了給最後一個問題提供一點線索，讓我們想想“幾何”這個詞的詞源。它來自於古希臘詞根g_____ē（意思是“地球”或“土地”）和metria（“測量”）。我們很容易想象，古人和他們的統治者都很關心領地或地塊的測量。政府需要評估應該收多少土地稅，應該爲土地澆灌多少水，農民能產出多少小麥、大麥和紙莎草。

假設有一塊長方形土地，30碼寬，40碼長。

這塊土地有多大呢？有意義的衡量標準就是測量它的面積。對於一塊30寬、40長的地塊，面積就是30×40，等於120平方碼。這是收稅員唯一關心的數字。他不會對你土地的具體形狀，以及你擁有其中哪些部分感興趣。

相反，測繪員則需要關注形狀、角度和距離。在古代埃及，尼羅河每年的汛期有時候會沖刷掉地塊之間的界線，這時就很有必要用精準的測繪重定楚河漢界。4000年以前，測繪員在查看一處30×40的地塊時，可能還想知道從某個角到其斜對角的距離有多長？

這個問題的答案遠沒有前面提到的關於面積的答案那麼簡單，然而全球各地的古代文明——巴比倫、中國、埃及、希臘、印度——都得出了答案。

他們所採用的方法就是今天所謂的畢達哥拉斯定理，以紀念出生在薩摩斯的畢達哥拉斯（Pythagoras of Samos），一個大約生活在公元前550年的古希臘數學家、哲學家和宗教領袖。該定理要求我們想象三塊假想中的正方形土地——一塊由長方形的寬邊構成，一塊由長方形的長邊構成，第三塊由長方形的對角線構成。

接下來，我們將分別計算由長邊和寬邊構成的正方形的面積，然後把它們加總。結果是，900+1600=2500。根據畢達哥拉斯定理，這一結果與對角線構成的正方形的面積是一樣的。於是，我們就知道了我們之前不知道的長方形對角線的長度：50碼，因爲，50×50=2500。

畢達哥拉斯定理對於任何大小的長方形——小的，大的，或介於其間的——都適用。長方形兩條邊各自構成的正方形之和總是等於長方形對角線構成的正方形。（更準確地說，是正方形的面積之和，而不是正方形本身之和。但爲簡便起見，我還是繼續用正方形之和，而不用正方形面積之和。）面積加總規則同樣適用於直角三角形，當你沿着對角線切分一個長方形時，你就得到了兩個直角三角形。

現在，這一規則看上去更像是你在學校學到的公式了：a²+b²=c²。從圖像化的角度來看，直角三角形兩條腳邊構成的正方形之和等於斜邊構成的正方形。

但是，爲什麼這個定理是正確的呢？它背後的邏輯是什麼呢？實際上，今天我們已經對該定理給出了數百種證明法。

其中一種尤其簡單，它是由畢達哥拉斯派學者以及古代中國人各自提出的。一種更復雜的證明出現在《幾何原本》（Euclid’s Elements）中，過去2300年來，學生們爲了理解這種證明，絞盡了腦汁，而它也讓哲學家亞瑟·叔本華產生了“我們看到別人被下套時的那種不舒服感”。甚至美國總統詹姆斯 A.加菲爾德（1881年當選）也給出過一種證明，它涉及對不規則四邊形的精巧使用。

遺憾的是，愛因斯坦沒有留下童年時期證明該定理的任何文字記錄。在《週六文學評論》的文章中，他只是簡要講述了這個證明，提到他主要依賴了“三角形的相似性”。

愛因斯坦的傳記作家們一致認爲，很可能他自己看到過教科書上常用的標準證明，也即是，相似的三角形（相似的意思是，就像同一張照片，經過成比例的縮小或放大，就成了不同卻又相似的照片）在證明過程中扮演了重要角色。沃爾特·艾薩克森（Walter Isaacson）、傑里米·伯恩斯坦（Jeremy Bernstein）和班諾什·霍夫曼（Banesh Hoffman）都得出了令人沮喪的結論，他們都認爲，雖然愛因斯坦聲稱自己獨自給出了畢達哥拉斯定理的一種新證明，但實際上他只是在無意中重新給出了早已爲人所熟知的證明。

然而24年前，這一缺失的記錄重新浮現了出來。在《分形、混沌、冪次定律》（“Fractals,Chaos,Power Laws”）一書中，物理學家曼菲爾德·施羅德（Manfred Schroeder）展示了一個極爲簡單的畢達哥拉斯定理證明，他認爲該證明來自於愛因斯坦。

施羅德寫道，這個證明是他的一個朋友展示給他的，他的朋友名叫施奈爾·李福森（Shneior Lifson），是一個在以色列魏茲曼科學院（the Weizmann Institute）工作的化學物理學家，而李福森又是從愛因斯坦的前助手之一物理學家恩斯特·斯特勞斯（Ernst Straus）那裏聽說的。

最終，是愛因斯坦本人把他的證明過程告訴給斯特勞斯的。儘管我們不能確定下面的證明一定出自愛因斯坦，但任何一個熟悉他論文的人都能從中看出，這個證明符合他的風格。

首先讓我們粗略瀏覽一下這個證明，以對它的整體結構有一個感性認識。

第1步：從直角到斜邊劃一條垂直線，將原先的直角三角形劃分爲兩個較小的直角三角形。

第2步：需要注意的是，小三角形（a）的面積加上中等三角形（b）的面積，等於大三角形（c）的面積。

第3步：從技術層面上講，大、中、小三角形都是相似的：它們對應的角是相等的，他們對應的邊是等比的。你可以想象把它們拿起來，旋轉它們，然後把它們逐一放下，讓斜邊朝上，直角在左下邊：

第4步：這三個三角形是相似的，每一個都是由斜邊構成的正方形面積的一部分。如果用符號來表示，我們就可以如下面的圖表所示，把每個三角形的面積表示爲fa²、fb²和fc²。

（如果這一步讓你覺得有點犯暈，不要着急，我會在下文做更多說明，我希望最終能讓你理解它。）

第5步：記住，在第2步，我們已經知道，小的和中等的三角形加起來就是大三角形。因此，從第4步我們可以得出，fa²+fb²=fc²。

第6步：公式兩邊除以f，你就可以得到a²+b²=c²，也即是等於兩個正方形（a和b）面積之和。這就是畢達哥拉斯定理。

這一證明依賴於兩個要點。第一個是，直覺三角形能被分拆爲兩個較小的直角三角形（第1步和第3步）。這是由直角三角形的特點決定的。比如，如果你試圖把一個等邊三角形分拆爲兩個較小的等邊三角形，你就會發現你根本做不到。

因此，愛因斯坦的證明揭示出爲什麼畢達哥拉斯定理只適用於直角三角形：它是唯一能由較小的自己組成更大的自己的一種三角形。第二個要點與相加性有關。爲什麼兩個正方形面積相加等於大正方形（c）面積（第6步）？這是因爲兩個三角形面積相加等於大三角形面積（第2步），而且正方形面積與三角形面積是等比的（第4步）。

正方形和三角形之間的邏輯關係來自於令人困惑的第4步。在這裏，我需要舉例解釋一下。我們假設最簡單的一種直角三角形，等腰直角三角形，也被稱爲45-45-90度三角形，你用正方形的對角線切分正方形，就能得到兩個等腰三角形。

與之前一樣，用斜邊構建一個正方形。

如果我們在新建的正方形上用虛線劃出對角線，圖形看起來就像是一個信封的摺疊說明圖。

正如你所看到的，正方形裏有4個三角形，它們與先前的那個三角形完全一樣。或者換種說法，每個三角形都佔據了正方形的四分之一，也即是f=1/4，而這個f就是第4步提到的f。

現在，你可能還是覺得有點暈，因爲我們完全沒提到這個等腰三角形和正方形有多大。對任何一個這樣的信封來說，它們的面積之比總是1比4，這與信封的大小無關，而與它的形狀有關。

這就是第4步的真相所在。你認爲想出這一思路很簡單嗎？不！

對於任何形狀的任何直角三角形，證明的思路都是一樣的，不一定非得是等腰直角三角形。直角三角形的面積總是以它的斜邊爲邊長構建的正方形的一部分，我們用f來表示。無論直角三角形及其斜邊構建的正方形有多大或多小，f總是不變的。當然，f的值要取決於直角三角形的形狀，如果它的底邊很長，那麼它的斜邊構成的正方形的面積與它的面積之比就會遠遠大於4倍，因此，f的值就會遠小於1/4。但是，f值的大小與證明該定理無關。愛因斯坦的證明表明，在最後一步，f消失了，沒起到任何作用。f在第4步出現，很快又在第6步消失。

在這一證明過程中，我們看到了對對稱證明法的精彩使用。在科學和數學中，即便一個事物在某方面有所變化，但它在有些方面仍保持不變，我們就可以說這個事物是對稱的。比如，球體就是旋轉對稱的，無論你怎麼旋轉它，它都是一樣的。

一個羅夏墨跡測驗

（Rorschach inkblot）也反映了一種對稱：它的鏡像與原像是對稱的。在這個證明的第4步，愛因斯坦利用了一種被稱爲比例縮放（scaling）的對稱法。他用每個直角三角形的斜邊構建了一個正方形，而它們是等比例的，其等比相似性就像是在複印機上同比例縮放一樣。這種縮放改變了幾何圖形的某些特徵（它們的面積和邊長），但其他特徵卻保持不變（它們的角度、形狀和麪積之比）。正是面積之比的恆定不變才讓第4步的證明站住了腳。

縱觀他的職業生涯，愛因斯坦一直在通過使用對稱證明法，直抵事物的本質，就像手術刀一樣精準。

後來，他注意到了電磁學理論中的非對稱性，並由此得到啓發，最終在1905年發表了具有劃時代意義的狹義相對論。他曾說過：

“當麥克斯韋的電動力學——今天我們已經可以很好地理解它——應用在移動物體上時，會產生非對稱現象，而這種非對稱似乎並不是本來就有的。”

愛因斯坦意識到，這些非對稱現象一定預示着經典物理學的根基可能受到了動搖。在他看來，所有的事物——空間、時間、物質、能量——都可以理解，唯獨對稱性不好理解。

想象一下，這得需要多大的勇氣，才能從最基礎開始重建幾乎整個物理學啊，而這一過程還意味着必須修正牛頓和麥克斯韋這樣的物理巨人的理論。

狹義和廣義相對論在本質上都是幾何理論。它們認爲宇宙在三維之外還有第四個維度，那就是時間。在狹義相對論中，畢達哥拉斯定理被用於測量兩個事物的間距（對空間和時間的測量），而不是被用於測量兩點之間的距離（對空間的測量）。在廣義相對論中，時空本身是彎曲的，從而導致物質和能量也有了曲率，因此，畢達哥拉斯定理仍有用武之地，它被變型爲一種量度法，測量事物在極爲接近之時的時空分離度，而這個時候曲率是可以被暫時忽略的。從某種程度上講，畢達哥拉斯定理是愛因斯坦畢生的摯愛。

他證明畢達哥拉斯定理的風格既優美又簡單，還啓發了後世的科學家。愛因斯坦在第1步劃出的那根垂直線，讓他對畢達哥拉斯定理的證明一氣呵成，猶如瓜熟蒂落。這種追求極簡方法的風格成爲愛因斯坦成年後的工作特點。令人難以置信的是，在那篇顛覆了我們對空間和時間認知的狹義相對論論文中，其中一些證明所用到的數學知識甚至沒有超過高中代數和幾何的水平。

在很多人看來，年輕的愛因斯坦似乎很輕鬆就搞定了對畢達哥拉斯定理的證明，但實際情況並非如此。

還記得嗎，在《週六文學評論》的文章中，他說過，該證明讓他“付出了大量的努力”。在後來的人生中，這種韌勁——愛因斯坦認爲是一種固執——極大地成就了他。他花了好些年才提出廣義相對論，並且他也經常被該理論要用到的抽象數學所難倒。儘管他的數學能力很強，但他並不是世界上最頂尖的數學家。

（“哥廷根街上的任何一個人都比愛因斯坦更能理解什麼是四維幾何”，他同時代的數學家大衛·希爾伯特曾經說道。）

在證明畢達哥拉斯定理多年之後，愛因斯坦與一個正爲數學抓狂的12歲學生分享了他的經驗。

1943年1月3日，一個名叫芭芭拉·李·威爾遜（Barbara Lee Wilson）的初中生寫信給他，尋求學習建議。“我班上的大多數女生都會給自己心目中的英雄寫粉絲信，”她在信的開頭寫道，“你 + 我（譯註：原文如此）在海岸警衛隊工作的叔叔就是我的英雄。”威爾遜告訴愛因斯坦，她對自己在數學上的表現深感焦慮：“我不得不比我大多數朋友學習更長的時間，我很焦慮（也許是非常焦慮）。”

4天之後，愛因斯坦給她回了信。

“直到今天，我也從沒想過自己會成爲英雄，”他寫道。“不過，既然你這麼稱呼我，我覺得我好像還算是個英雄吧。”

關於威爾遜的學業問題呢？

愛因斯坦如此回覆，“你不要爲在數學上遇到的困難感到焦慮，我敢向你保證，我對數學的焦慮比你更嚴重！”