笔者在《中考数学思维方法与解题策略》一书中总结了动点轨迹的几种情况（直线型轨迹和圆弧型轨迹），概括了初中数学题中出现的各种动点路径和最值问题。书中还提出“轨迹定位法”，用以解决压轴题中相当常见的一类问题：求符合条件的未知点位置。这类问题的呈现方式和背景多种多样，如所求点满足距离条件、角度条件、面积条件、构成相似形（全等形）、构成特殊三角形、构成特殊四边形、最大值与最小值等，这类问题涵盖的知识点很广，可以用各种几何图形、函数图像为背景，大概占到中考压轴题的半壁江山。不夸张地说，掌握“轨迹定位法”就可以打下中考压轴题的半壁江山！对于这类题目，很多同学往往是用无序尝试的方式寻找符合条件的未知点，导致解题速度慢，多种情况会遗漏。如果你掌握了“轨迹定位法”，就再也不用担心这些问题啦！
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先看书中列举的两类基本轨迹：直线型轨迹和圆弧型轨迹。另外：满足各种函数关系式的点的轨迹就是该函数的图像。例1.（南京2019填空压轴题）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是 ．简析：由条件“AB＝4，∠C＝60°”，依据“定线对定角”知点C的轨迹是以AB为弦所含圆周角为60°的弧，如下图，∠A>∠B时，∠A>60°，BC随着所对圆心角的增大而增大。当∠A=60°时，BC=4，当∠A=90°时，BC为直径，长为4√3/3，所以BC的长的取值范围是4<BC≤4√3/3。例2.（河南2019倒二压轴题）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．如图1，当α＝60°时，BD：CP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．如图2，当α＝90°时，请写出BD：CP的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD：CP的值．简析：（1）（2）问属于“一转成双·手拉手”模型，这里略过不表。（3）问中由条件“C，P，D共线且∠APD=90°”知∠CPA=90°，依据“定线对定角”知点P在以AC为直径的圆上，如下图，易得圆与直线EF交于两点即为所求P点，由PE=CE导角得∠PCE=∠CPE=∠DAC=22.5°，得AD=CD，设PA=PD=1，则CD=AD=√2，所以AD:CP=√2:(√2±1)=2±√2。例3.（天津2018倒二压轴题）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形ADEF ，点 O，B ，C 的对应点分别为 D，E ，F. （2）如图①,当点D 落在BC 边上时,求点D的坐标；（3）如图②,当点 D落在线段BE 上时, AD与BC 交于H点.（4）记K为矩形AOBC 对角线的交点,S为△KDE 的面积,求S的取值范围（直接写出结果即可）. 简析：前面简单问题略过，我们看第（4）问。由题意，DE为定值，△KDE的面积与点K到DE的距离成正比，求出点K到直线DE的距离最大值和最小值即可。题目中是矩形ADEF绕点A旋转，因为运动是相对的，为了简单起见，可以看成点K绕点A旋转，其相对关系不变。由AK为定值，依据基本轨迹“定点+定长”得点K轨迹是以A为圆心AK为半径的圆，转化为圆上一点到直线的距离最值问题（参见几何最值模型）。如下图，过圆心作DE的垂线，交圆A于两点，即得DE边上高的最小值为DK1，最大值为DK2，从而易求面积的取值范围。例4.（扬州2019选择压轴题）若反比例函数y=-2/x的图像上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=-x+m的图像上，则m的取值范围是（ ）
A.m>2√2 B.m<-2√2 C.m>2√2 或 m<-2√2 D.-2√2<m<2√2简析：y=-2/x图像的对称图像是y=2/x，即为求直线y=-x+m与双曲线y=2/x有两个交点，画出直线所在轨迹如下图，易得m>2√2 或 m<-2√2。本题也可以用代数方法求解，把y=-x+m与y=2/x联立得-x+m=2/x，此方程有两个不相等的实数根即可，△=m2-8>0即得m>2√2 或 m<-2√2。例5.（扬州2019倒一压轴题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.
（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为 ；（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为 ；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。简析：（3）中B、B′是对应点，所以BB′⊥l，B′点轨迹是AC的平行线，到AC的距离为4√3，所以△ACB’的面积不变，为16√3。（4）中由B’P=6，依据“定点+定长”知B’点的轨迹为以P为圆心以6为半径的圆，转化为求圆P上一点到直线AC的最大距离（圆到线），如下图，过圆心P作AC的垂线所得的B'H即是圆上各点到AC距离的最大值。例5.（潍坊2019选择压轴题）抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6简析：一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根转化为抛物线y＝x2+bx+3在﹣1＜x＜4范围内与直线y=t有交点，如下图，所求轨迹即为直线y=t与蓝色部分曲线有公共点的黄色区域，显然满足2≤t＜11 。例6.（2019·桂林）如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，AD＝3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为 ．简析：这是一道典型的动点路径问题，包含两种路径模型，点A1满足“定点+定长”（A1B为定值），它的轨迹是圆弧，点Q满足QC/A1C=1/2，是“主从联动”模型，从动点Q的路径是主动点A1路径的一半，P在终点D时，∠ABD=60°，所以∠ABA1=120°，可求弧AA1的长为2√3/3，Q点路径是A1点路径的一半，即为√3/3.例7.（宿迁2019解答倒二题最后一问）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，直线CE、AD交于点G，如图②．求点G的运动路程．简析：由“一转成双·手拉手”模型得ΔBCE∽ΔBAD，则∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC为定线，可知点G在AC所对的弧上，而弧的大小范围取决于D点的运动范围，当点D距定点E最远时（BD⊥AG），点G在圆上最远处。如下图所示：如下图，当BD⊥AG时，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此时弧BG的圆心角∠BOG=60°，D点旋转180度时点G在该弧上往返共两次，因此点G运动路径为60度弧长的2倍，即为8/3π.例8.（淮安2019倒一题）如图①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．简析：（2）由PB=PE=PC知点B、C、E在以点P为圆心的圆上，得∠BCE=1/2∠BPE=40°=∠ABC，所以AB∥EC。（3）由∠BCE=40°，依据“定线夹定角”知点E的运动轨迹是线段，当点P与点A重合时，∠AEC的角度最大，AE最小，此时AE=3。例9.（广东省2019倒一题）如题1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=√3/8 x2+3√3/4 x-7√3/8与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（3）如题2图，过顶点D作DD1⊥x 轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．简析：由于△DD1A是定三角形，且△PAM与△DD1A有一相等直角，问题转化为求定角直线与抛物线的交点，如下图，分别在x轴上方和下方作∠PAB=∠DAD1，或∠PAB=∠D1DA，显然与D点重合除外存在3个符合条件的P点。可先求三条直线（PA）的解析式，再求与抛物线的交点即可。如由tan∠DAD1=√3/2，A（1，0），可得其中一条直线AP解析式为y=-√3/2+√3/2，与y=√3/8 x2+3√3/4 x-7√3/8联立求得x=-11（x=1舍去）。也可以先设P点坐标，再利用坐标表示PM、AM的长度，建立比例式求解，如下图。
例10.（临沂2019倒一题）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a=﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．简析：第（3）问，当a=-1时，二次函数表达式为y＝-x2-x+2，易求得AB=2√2，因为△PAB的面积为1，所以AB边上的高为定值√2/2，即点P到AB的距离为定长√2/2，画出P点所在轨迹为到AB距离为√2/2的两条平行线，如下图，可求BC=1，两条平行线即为AB：y=x+2向上或向下平移1个单位所得，得其解析式为y=x+3和y=x+1，再求两平行线与抛物线的交点即可。上述解题中核心思想是用轨迹的观念看问题，这种思维方式是一种宏观视角，大气磅礴且简单高效。它站在整体的高度思考问题，因而适用范围广，解题效率高，区别于一般的末技小术。“知识就是力量”这句话并不完整，熟练运用知识才能产生力量！组织清晰结构优良的知识才能易于运用，松散无序的知识不利于提取和应用。无论是陈述性知识还是程序性知识，都要系统化地组织，并进行足够的刻意训练，最终才能把知识转化成能力，内化为思维。
平时教学中不仅要关注知识概念的结构化系统化，还要关注方法策略的结构化系统化，而且后者更为重要，因为这决定着所学知识能不能转化为实际能力。但学校教学一般仅注重知识概念的整理归纳，缺乏对方法策略的总结提炼和系统训练，只是在反复练习过程中使原本已掌握的东西增加熟练程度而已，导致学生的思维层次很难跃升，出现“会的一直会，不会的始终不会”这种普遍现象。本人所著的《中考数学思维方法与解题策略》一书就是为了解决上述问题，揭示核心的思维策略，训练常用的解题方法，从根本上完善和发展学生的问题解决能力。
