筆者在《中考數學思維方法與解題策略》一書中總結了動點軌跡的幾種情況（直線型軌跡和圓弧型軌跡），概括了初中數學題中出現的各種動點路徑和最值問題。書中還提出“軌跡定位法”，用以解決壓軸題中相當常見的一類問題：求符合條件的未知點位置。這類問題的呈現方式和背景多種多樣，如所求點滿足距離條件、角度條件、面積條件、構成相似形（全等形）、構成特殊三角形、構成特殊四邊形、最大值與最小值等，這類問題涵蓋的知識點很廣，可以用各種幾何圖形、函數圖像爲背景，大概佔到中考壓軸題的半壁江山。不誇張地說，掌握“軌跡定位法”就可以打下中考壓軸題的半壁江山！對於這類題目，很多同學往往是用無序嘗試的方式尋找符合條件的未知點，導致解題速度慢，多種情況會遺漏。如果你掌握了“軌跡定位法”，就再也不用擔心這些問題啦！
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先看書中列舉的兩類基本軌跡：直線型軌跡和圓弧型軌跡。另外：滿足各種函數關係式的點的軌跡就是該函數的圖像。例1.（南京2019填空壓軸題）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，則BC的長的取值範圍是 ．簡析：由條件“AB＝4，∠C＝60°”，依據“定線對定角”知點C的軌跡是以AB爲弦所含圓周角爲60°的弧，如下圖，∠A>∠B時，∠A>60°，BC隨着所對圓心角的增大而增大。當∠A=60°時，BC=4，當∠A=90°時，BC爲直徑，長爲4√3/3，所以BC的長的取值範圍是4<BC≤4√3/3。例2.（河南2019倒二壓軸題）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．如圖1，當α＝60°時，BD：CP的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是 ．如圖2，當α＝90°時，請寫出BD：CP的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數，並就圖2的情形說明理由．當α＝90°時，若點E，F分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時AD：CP的值．簡析：（1）（2）問屬於“一轉成雙·手拉手”模型，這裏略過不表。（3）問中由條件“C，P，D共線且∠APD=90°”知∠CPA=90°，依據“定線對定角”知點P在以AC爲直徑的圓上，如下圖，易得圓與直線EF交於兩點即爲所求P點，由PE=CE導角得∠PCE=∠CPE=∠DAC=22.5°，得AD=CD，設PA=PD=1，則CD=AD=√2，所以AD:CP=√2:(√2±1)=2±√2。例3.（天津2018倒二壓軸題）在平面直角座標系中，四邊形AOBC是矩形，點O（0，0），點A（5，0），點B（0，3）.以點A爲中心，順時針旋轉矩形 AOBC，得到矩形ADEF ，點 O，B ，C 的對應點分別爲 D，E ，F. （2）如圖①,當點D 落在BC 邊上時,求點D的座標；（3）如圖②,當點 D落在線段BE 上時, AD與BC 交於H點.（4）記K爲矩形AOBC 對角線的交點,S爲△KDE 的面積,求S的取值範圍（直接寫出結果即可）. 簡析：前面簡單問題略過，我們看第（4）問。由題意，DE爲定值，△KDE的面積與點K到DE的距離成正比，求出點K到直線DE的距離最大值和最小值即可。題目中是矩形ADEF繞點A旋轉，因爲運動是相對的，爲了簡單起見，可以看成點K繞點A旋轉，其相對關係不變。由AK爲定值，依據基本軌跡“定點+定長”得點K軌跡是以A爲圓心AK爲半徑的圓，轉化爲圓上一點到直線的距離最值問題（參見幾何最值模型）。如下圖，過圓心作DE的垂線，交圓A於兩點，即得DE邊上高的最小值爲DK1，最大值爲DK2，從而易求面積的取值範圍。例4.（揚州2019選擇壓軸題）若反比例函數y=-2/x的圖像上有兩個不同的點關於y軸對稱點都在一次函數y=-x+m的圖像上，則m的取值範圍是（ ）
A.m>2√2 B.m<-2√2 C.m>2√2 或 m<-2√2 D.-2√2<m<2√2簡析：y=-2/x圖像的對稱圖像是y=2/x，即爲求直線y=-x+m與雙曲線y=2/x有兩個交點，畫出直線所在軌跡如下圖，易得m>2√2 或 m<-2√2。本題也可以用代數方法求解，把y=-x+m與y=2/x聯立得-x+m=2/x，此方程有兩個不相等的實數根即可，△=m2-8>0即得m>2√2 或 m<-2√2。例5.（揚州2019倒一壓軸題）如圖，已知等邊△ABC的邊長爲8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合），直線l是經過點P的一條直線，把△ABC沿直線l摺疊，點B的對應點是點B’.
（1）如圖1，當PB=4時，若點B’恰好在AC邊上，則AB’的長度爲 ；（2）如圖2，當PB=5時，若直線l∥AC，則BB’的長度爲 ；（3）如圖3，點P在AB邊上運動過程中，若直線l始終垂直於AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；（4）當PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值。簡析：（3）中B、B′是對應點，所以BB′⊥l，B′點軌跡是AC的平行線，到AC的距離爲4√3，所以△ACB’的面積不變，爲16√3。（4）中由B’P=6，依據“定點+定長”知B’點的軌跡爲以P爲圓心以6爲半徑的圓，轉化爲求圓P上一點到直線AC的最大距離（圓到線），如下圖，過圓心P作AC的垂線所得的B'H即是圓上各點到AC距離的最大值。例5.（濰坊2019選擇壓軸題）拋物線y＝x2+bx+3的對稱軸爲直線x＝1．若關於x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t爲實數）在﹣1＜x＜4的範圍內有實數根，則t的取值範圍是（ ）A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6簡析：一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t爲實數）在﹣1＜x＜4的範圍內有實數根轉化爲拋物線y＝x2+bx+3在﹣1＜x＜4範圍內與直線y=t有交點，如下圖，所求軌跡即爲直線y=t與藍色部分曲線有公共點的黃色區域，顯然滿足2≤t＜11 。例6.（2019·桂林）如圖，在矩形ABCD中，AB＝√3，AD＝3，點P是AD邊上的一個動點，連接BP，作點A關於直線BP的對稱點A1，連接A1C，設A1C的中點爲Q，當點P從點A出發，沿邊AD運動到點D時停止運動，點Q的運動路徑長爲 ．簡析：這是一道典型的動點路徑問題，包含兩種路徑模型，點A1滿足“定點+定長”（A1B爲定值），它的軌跡是圓弧，點Q滿足QC/A1C=1/2，是“主從聯動”模型，從動點Q的路徑是主動點A1路徑的一半，P在終點D時，∠ABD=60°，所以∠ABA1=120°，可求弧AA1的長爲2√3/3，Q點路徑是A1點路徑的一半，即爲√3/3.例7.（宿遷2019解答倒二題最後一問）如圖①，在鈍角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，點D爲邊AB中點，點E爲邊BC中點，將△BDE從圖①位置繞點B逆時針方向旋轉180°，直線CE、AD交於點G，如圖②．求點G的運動路程．簡析：由“一轉成雙·手拉手”模型得ΔBCE∽ΔBAD，則∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC爲定線，可知點G在AC所對的弧上，而弧的大小範圍取決於D點的運動範圍，當點D距定點E最遠時（BD⊥AG），點G在圓上最遠處。如下圖所示：如下圖，當BD⊥AG時，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此時弧BG的圓心角∠BOG=60°，D點旋轉180度時點G在該弧上往返共兩次，因此點G運動路徑爲60度弧長的2倍，即爲8/3π.例8.（淮安2019倒一題）如圖①，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D是BC的中點．小明對圖①進行了如下探究：在線段AD上任取一點P，連接PB．將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉80°，點B的對應點是點E，連接BE，得到△BPE．小明發現，隨着點P在線段AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．（2）請在圖③中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關係，並說明理由．簡析：（2）由PB=PE=PC知點B、C、E在以點P爲圓心的圓上，得∠BCE=1/2∠BPE=40°=∠ABC，所以AB∥EC。（3）由∠BCE=40°，依據“定線夾定角”知點E的運動軌跡是線段，當點P與點A重合時，∠AEC的角度最大，AE最小，此時AE=3。例9.（廣東省2019倒一題）如題1圖，在平面直角座標系中，拋物線y=√3/8 x2+3√3/4 x-7√3/8與x軸交於點A、B(點A在點B右側)，點D爲拋物線的頂點．點C在y軸的正半軸上，CD交x軸於點F，△CAD繞點C順時針旋轉得到△CFE，點A恰好旋轉到點F，連接BE．（3）如題2圖，過頂點D作DD1⊥x 軸於點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥ x軸，點M爲垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．簡析：由於△DD1A是定三角形，且△PAM與△DD1A有一相等直角，問題轉化爲求定角直線與拋物線的交點，如下圖，分別在x軸上方和下方作∠PAB=∠DAD1，或∠PAB=∠D1DA，顯然與D點重合除外存在3個符合條件的P點。可先求三條直線（PA）的解析式，再求與拋物線的交點即可。如由tan∠DAD1=√3/2，A（1，0），可得其中一條直線AP解析式爲y=-√3/2+√3/2，與y=√3/8 x2+3√3/4 x-7√3/8聯立求得x=-11（x=1捨去）。也可以先設P點座標，再利用座標表示PM、AM的長度，建立比例式求解，如下圖。
例10.（臨沂2019倒一題）在平面直角座標系中，直線y＝x+2與x軸交於點A，與y軸交於點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）經過點A、B．（2）當x＜0時，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函數值隨x的增大而增大，求a的取值範圍．（3）如圖，當a=﹣1時，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積爲1？若存在，請求出符合條件的所有點P的座標；若不存在，請說明理由．簡析：第（3）問，當a=-1時，二次函數表達式爲y＝-x2-x+2，易求得AB=2√2，因爲△PAB的面積爲1，所以AB邊上的高爲定值√2/2，即點P到AB的距離爲定長√2/2，畫出P點所在軌跡爲到AB距離爲√2/2的兩條平行線，如下圖，可求BC=1，兩條平行線即爲AB：y=x+2向上或向下平移1個單位所得，得其解析式爲y=x+3和y=x+1，再求兩平行線與拋物線的交點即可。上述解題中核心思想是用軌跡的觀念看問題，這種思維方式是一種宏觀視角，大氣磅礴且簡單高效。它站在整體的高度思考問題，因而適用範圍廣，解題效率高，區別於一般的末技小術。“知識就是力量”這句話並不完整，熟練運用知識才能產生力量！組織清晰結構優良的知識才能易於運用，鬆散無序的知識不利於提取和應用。無論是陳述性知識還是程序性知識，都要系統化地組織，並進行足夠的刻意訓練，最終才能把知識轉化成能力，內化爲思維。
平時教學中不僅要關注知識概念的結構化系統化，還要關注方法策略的結構化系統化，而且後者更爲重要，因爲這決定着所學知識能不能轉化爲實際能力。但學校教學一般僅注重知識概念的整理歸納，缺乏對方法策略的總結提煉和系統訓練，只是在反覆練習過程中使原本已掌握的東西增加熟練程度而已，導致學生的思維層次很難躍升，出現“會的一直會，不會的始終不會”這種普遍現象。本人所著的《中考數學思維方法與解題策略》一書就是爲了解決上述問題，揭示核心的思維策略，訓練常用的解題方法，從根本上完善和發展學生的問題解決能力。
