【問題描述】

如圖，在平面直角座標系中，點A座標爲（1,1），點B座標爲（5,3），在x軸上找一點C使得△ABC是直角三角形，求點C座標．

【幾何法】兩線一圓得座標

（1）若∠A爲直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即爲所求點C；

（2）若∠B爲直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即爲所求點C；

（3）若∠C爲直角，以AB爲直徑作圓，與x軸的交點即爲所求點C．（直徑所對的圓周角爲直角）

重點還是如何求得點座標，C1、C2求法相同，以C2爲例：

【構造三垂直】

C3、C4求法相同，以C3爲例：

構造三垂直步驟：

第一步：過直角頂點作一條水平或豎直的直線；

第二步：過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．

【代數法】表示線段構勾股

還剩下C1待求，不妨來求下C1：

【解析法】

還有個需要用到一個教材上並沒有出現但是大家都知道的算法：

互相垂直的兩直線斜率之積爲-1．

考慮到直線AC1與AB互相垂直，k1k2=-1，

可得：kAC=-2，

又直線AC1過點A（1,1），

可得解析式爲：y=-2x+3，

所以與x軸交點座標爲（1.5,0），

即C1座標爲（1.5,0）．

確實很簡便，但問題是這個公式出現在高中的教材上~

再特殊一些，如果問題變爲等腰直角三角形存在性，則同樣可採取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等．

【等腰直角存在性——三垂直構造全等】

通過對下面數學模型的研究學習，解決問題．

【模型呈現】

如圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉90°得到AD，過點D作DE⊥AC於點E，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE．

我們把這個數學模型成爲“K型”．

推理過程如下：

【模型遷移】

二次函數y=ax²+bx+2的圖像交x軸於點A（-1,0），B（4,0）兩點，交y軸於點C．動點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC於點N，交拋物線於點D，連接AC，設運動的時間爲t秒．

（1）求二次函數y=ax²+bx+2的表達式；

（2）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC爲直角的等腰直角三角形時，求此時點D的座標．

【直角頂點已知or未知】

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=1/2x²+bx+c與x軸交於A、B兩點，點B（3,0），經過點A的直線AC與拋物線的另一交點爲C（4，5/2），與y軸交點爲D，點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點（不與點A、C重合）．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）點Q在拋物線的對稱軸上運動，當△OPQ是以OP爲直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出符合條件的點P的座標．

【小結】對於構造三垂直來說，直角頂點已知的和直角頂點的未知的完全就是兩個題目！

也許能畫出大概位置，但如何能畫出所有情況，纔是問題的關鍵．

其實只要再明確一點，構造出三垂直後，表示出一組對應邊，根據相等關係列方程求解即可．

【對未知直角頂點的分析】

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸於點A（-3,0）和點B（1,0），交y軸於點C．

（1）求這個拋物線的函數表達式．

（2）點D的座標爲（-1,0），點P爲第二象限內拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．

（3）點M爲拋物線對稱軸上的點，問：在拋物線上是否存在點N，使△MNO爲等腰直角三角形，且∠MNO爲直角？若存在，請直接寫出點N的座標；若不存在，請說明理由．

【小結】無論直角頂點確定與否，事實上，所有的情況都可以歸結爲同一個方程：NE=FM．故只需在用點座標表示線段時加上絕對值，便可計算出可能存在的其他情況．

一般直角三角形存在性，同樣構造三垂直，區別於等腰直角構造的三垂直全等，沒了等腰的條件只能得到三垂直相似．

而題型的變化在於動點或許在某條直線上，也可能在拋物線上等．

【對稱軸上尋動點】

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸爲直線x=-1，且拋物線與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C點，其中A（1,0），C（0,3）．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的座標；

（3）設點P爲拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使△BPC爲直角三角形的點P的座標．

【拋物線上尋動點】

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=ax²+2x+c與x軸交於A（-1,0），B（3,0）兩點，與y軸交於點C，點D是該拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的座標；

（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C爲頂點，AC爲直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的座標；若不存在，請說明理由．

【動點還可能在……】

如圖，拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交於A（-3,0），B（1,0）兩點，與y軸交於點C，直線y=-x與該拋物線交於E，F兩點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個動點，作PH⊥EF於點H，求PH的最大值．

（3）以點C爲圓心，1爲半徑作圓，圓C上是否存在點M，使得△BCM是以CM爲直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出M點座標；若不存在，說明理由．