來源：原理

2月22日，數學家Giles Gardam在網上進行了一場長達一個多小時的演講，演講的內容是與K理論有着深厚淵源的單位猜想。這個猜想是一個基本卻又令人困惑的代數問題，自被提出以來，已經困擾了數學家80多年之久。

1940年，英國數學家格雷厄姆·希格曼（Graham Higman）在他的博士論文中提出了單位猜想和零因數猜想；1956年，20世紀最傑出的數學家之一歐文·卡普蘭斯基（Irving Kaplansky）在一份演講報告中提到了零因數猜想；到了1970年，卡普蘭斯基在一篇題爲《環理論的問題》的論文中，正式提出了單位猜想和零因數猜想。

現在，單位猜想與零因數猜想和冪等猜想被統稱爲卡普蘭斯基猜想。在卡普蘭斯基的努力下，這些猜想受到了更多的關注。但一直以來，這些猜想都仍處於未決的狀態。在近期的這場演講中，Gardam介紹了單位猜想的發展史，以及與零因數猜想和冪等猜想有關的一些信息。在演講的最後時分，他突然告訴大家：“現在是時候告訴大家一些新東西了——單位猜想實際上是錯誤的。”消息一出，便引起了許多數學家的注意，因爲卡普蘭斯基猜想與鄰近數學領域的一些其他問題有關。

單位猜想涉及到羣論中的大量知識。羣論研究的是那些定義了可逆結合的乘積運算的集合。一個能夠被稱爲羣的集合，需要在其乘法運算的表現是正確的情況下，還滿足兩個額外的要求：一是集合中必須包含一個這樣一個特殊元素（通常被標記爲“1”），當它與其他元素相乘時，其他元素能維持不變；二是每個元素g都必須有一個乘法逆元（寫作g⁻¹），且當它與g相乘時等於1（g×g⁻¹=1）。

單位猜想所探討的問題是：在一個代數結構族中，有哪些元素具有乘法逆元？不過它所考慮的並不是普通數字的乘法逆元，而是羣代數（一種將數字系統與一個羣結合起來的結構）中的元素的乘法逆元。

在許多方面，羣代數中的元素與多項式很類似，只不過它們之間存在一個關鍵區別：對於多項式來說，當兩個多項式相乘，有些項可能會相互抵消，但指數最高的那項中總會留下，比如（x - 1）（x + 1） = x² + x - x - 1，互相抵消的是x和−x，x²仍然存在；但在羣代數中，羣的元素之間的關係可能導致一些其他的難以預測的抵消。

舉個例子，假設有一個羣是字母“A”的對稱變換的集合，這個羣只有兩個元素：一是讓每個點都維持在原有位置的轉換（即“1”）；二是通過中央垂直軸進行的兩次反射（記爲“r”），反射兩次會使每個點都復原到原來的位置，r×r=1。在這種情況下，如果將r+2與−r/3+2/3相乘，那麼會發現幾乎所有的項都抵消了，只留下了1。於是乎r+2和−r/3+2/3是一對乘法逆元。

在1940年，希格曼提出一個大膽的猜想，他認爲在羣代數中，這種所有項都全部抵消的情況，只在用於構造羣代數的羣包含某些冪等於1的元素時纔會發生。他提出，在所有其他羣代數中，只有最簡單的元素纔有乘法逆元，即只含一項的元素（如3x）可以具有乘法逆元，具有多個項的和（如r+2）的元素不具有乘法逆元。

卡普蘭斯基呼籲更多數學家來關注這個猜想，他將單位猜想與零因子猜想和冪等猜想打包在一起並進行了推廣。再後來，有人將強大的代數K理論引入其中，這使一些數學家得以爲零因子猜想和冪等猜想提供一些證據，但對單位猜想始終無能爲力。

在很長一段時間裏，數學家既不能證明這個猜想，也不能找到其反例。許多數學家都已經放棄了這三個猜想，將證明或推翻它們都視爲無望之事。直到現在。

Gardam通過在由一種特定三維晶體形狀的對稱性構成的羣代數中，發現了不同尋常的“單位”，他在這個羣代數中發現了具有乘法逆元的元素，因而證明了單位猜想是錯誤的。在一篇於2月25日向arXiv提交了一篇文章，Gardam簡單描述了他通過利用三維晶體形狀的對稱性結構，找到了單位猜想的一個反例。

在Gardam的證明中，他用到了一個簡單的被稱爲Hantzsche-Wendt的羣，這個羣描繪了一種被物理學家認爲是宇宙形狀的可能模型的對稱性，而這種形狀是通過將三維晶體的側面粘合起來而建立的。Hantzsche-Wendt羣是一個無限羣，即使對於羣代數中的簡短的和，也存在無限多種可能性。在2010年，有數學家證明，即使在Hantzsche-Wendt羣中存在單位猜想的反例，也不會存在於最簡單的求和之中。

Gardam由Hantzsche-Wendt羣建立的羣代數中，找到了一對分別具有21項的乘法逆元。找到這一對乘法逆元需要計算機進行大量的複雜搜索，但驗證它們是否是一對乘法逆元則並不困難，只需將它們相乘，再檢查得到的441項乘積是否可以簡化爲1。

對於成功找到的這一反例，Gardam表示，這更多的是一個概念性的證明，雖然目前無法預知這個反例將如何影響其他卡普蘭斯基猜想，但這表明了研究這個問題並非無望之事。

目前，Gardam還尚未公佈他的算法細節，一旦公佈，其他數學家或許就找到更多的反例。有數學家推測，或許在不不久的未來，我們就將找到無數個反例。接下來，留給數學家的任務將是理解Gardam的複雜單位背後的原理。

#創作團隊：

編譯：佐佑

圖片：嶽嶽子 & 雯雯子

#參考來源：

https：//www.quantamagazine.org/mathematician-disproves-group-algebra-unit-conjecture-20210412/ 

https：//arxiv.org/pdf/2102.11818.pdf 

https：//www.uni-muenster.de/MathematicsMuenster/news/artikel/2021-03-04.shtml