在上一篇文章，我們已經討論了黎曼zeta函數的一些零點，每個負偶數都是zeta函數的零點：ζ(−2)= 0，ζ(−4)= 0，ζ(−6)= 0，以此類推。這給我們提供了一種理解黎曼猜想的方法，再次回顧下黎曼猜想的內容：

黎曼zeta函數的非平凡零點的實部都是1/2。

但負偶數只是zeta函數的平凡零點，我們不禁要問，那些“非平凡零點”在哪裏？爲了回答這個問題，我們必須走進複數世界。

數字系統，維基百科

一個複數就是複平面上的一個點，爲了說明覆平面，我對複數做一點分析，首先考慮我們之前討論過的無窮級數：

x在-1到1之間

這適用於複數嗎？是的（在某些條件下）。例如，假設x是（1/2）i，那麼級數收斂。事實上：

左邊等於0.8+0.4i，右邊可以利用i^2=-1來化簡，得到：

把右邊表達式畫在復平面上：

從實軸上的1開始，加上1/2個虛單位（向上移動0.5），再減去1/4（向左移動1/4）……最後得到一個螺旋圖，落在複數點0.8+0.4i處。

回到非平凡零點，我要告訴你的是，黎曼zeta函數的非平凡零點都是複數！在1900年，關於非平凡零的位置，在數學上已經確定瞭如下事情：

它們有無窮多個，實部在0到1之間。

陰影部分被稱爲臨界帶，黎曼給出了更強的假設，就是黎曼猜想——非平凡零點實部都落在1/2上（臨界線上）。

零以共軛對的形式出現。也就是說，如果a + bi是一個零點，那麼a - bi也是一個零點。
零點的實部關於臨界線對稱。

把黎曼zeta函數定義域推廣到複數範圍‍

我們知道，複數是普通實數的一個非常簡單的擴展，遵循所有的算術規則，只是增加了i^2=-1。自然而然地，我們可以用複數替代實數，把函數的定義域擴展到整個複數範圍。如平方函數很容易擴展：

指數函數不那麼容易。

指數函數的擴展需要運用歐拉恆等式：

具體如何定義e的複數次冪呢？下面等式顯示了e^z的實際定義（對於任意數z，實數或複數）：

如果z=πi，那麼z^2=-π^2，z^3=-π^3i，z^4=π^4，z^5=π^5i，等等。把這些帶入上式得到：

右邊收斂到-1。

同樣，對數函數也可以擴展到複數。它只是指數函數的逆函數。

那麼，我們可以擴展黎曼zeta函數的定義域到複數範圍嗎？

當然可以。我告訴你，對於複數，你可以做任何事情。

由於zeta函數公式仍然是一個無限級數求和，因此仍然存在收斂性問題。對於任何實部大於1的複數，和是收斂的，數學上稱爲：

在半平面上Re(s) > 1

其中Re（s）表示s的實部。

然而，就像對於實變量的zeta函數一樣，數學技巧可以將zeta函數的定義域擴展到不收斂的區域。應用這些技巧之後，就得到了完整的zeta函數，它的定義域是所有的複數，只有一個例外，在s = 1處。

如果有一些視覺輔助工具，復函數會更容易掌握。那麼，如何將復函數可視化呢？我們來看看最簡單的非平凡復函數，平方函數。如何畫出它的函數圖？如果自變量是實數，那麼函數圖很容易畫出來：

但這不能用於複函數，複函數變量需要用二維平面來表示。函數值需要另一個二維平面。爲了得到一個圖，需要四維空間來畫它。這顯然是不現實的。

但我們可以換個方式。記住函數的基本概念，它將一個數字（參數）轉換爲另一個數字（函數值）。複數是復平面上的一點，函數值是另一個點。一個復函數把定義域內的所有點都“映射”到其他點上。你可以選擇一些點，然後看看它們的走向。

例如，複平面上一些構成正方形邊的數字a、b、c、d，它們的值分別是−0.2 + 1.2i， 0.8 + 1.2i，0.8 + 2.2i，和 −0.2 + 2.2i。把這些數代數平方函數會怎樣？

−0.2 + 1.2i的平方是−1.4 − 0.48i，也就是a的函數值；將b、c和d平方可以得到其他角的值——我已經將它們標記爲A、B、C和D。如果你對沿正方形邊緣的所有點重複這個步驟，以及組成網格內部的所有點，你就會得到如上圖所示的扭曲的正方形。

把複平面想象成一塊可以無限拉伸的橡膠片，然後問函數是如何作用這個橡膠片的，這對理解複函數很有幫助。從上圖可以看出，平方函數將橡膠片圍繞（0,0）點逆時針旋轉並拉伸了。

黎曼有非常強大的視覺想象力，構想出了這個“東西”，取整個復平面。沿負實軸切割，到原點爲止。

黎曼看來有着非常強的直觀想象力，他做出了下面的構想。取整個複平面。沿負實（西）軸切割，到原點爲止。現在抓住切口的上半部，以原點爲中心，把它按逆時針方向拉。拉着它恰好轉過 360 度。此時它在被拉伸了的橡膠片的上方，而切口的另一側在這張膜的下面。讓它穿過橡膠片（你必須想象，復平面不僅可以無限延伸，而且是用一種能穿過其自身的神祕物質製造的），並且把切口重新彌合。你腦海中的圖景現在看起來有點像：

這就是平方函數作用於複平面的結果。

這不是一個空想的或無關緊要的操作。由此出發，黎曼發展出了一個完整的理論，稱爲黎曼曲面理論。它包含了一些強有力的結論，並且讓人們深刻地瞭解了複變函數的特性。它還把函數論與代數學和拓撲學聯繫起來，這是 20世紀數學的兩個關鍵性發展領域。事實上，它是黎曼大膽無畏而不斷創新的想象力的一個典型產物—歷史上最偉大的頭腦之一的一個成果。

理解複變函數‍

自變量螞蟻

現在，把複變函數的自變量看作一隻“無窮小”的螞蟻。如上圖所示，這隻小螞蟻用它前面的一隻“手”抓着一個“小儀器”，這個小儀器有三個顯示屏：

因此，這隻小螞蟻始終精確地知道它在哪裏，同時對於任何給定的函數，它知道它所站的那個點會被函數映射到哪裏。

現在我們讓這個小儀器顯示zeta函數，讓這隻自變量螞蟻在複平面上自由漫步。當“函數值”顯示零的時候，它就正好站在zeta函數的一個零點（“自變量”）上。這隻小螞蟻可以在它所到之處做上記號。於是我們就能知道zeta函數的那些零點在哪裏了。

實際上，我將要讓這隻自變量螞蟻所做的工作，比上面所說的略多一點。我要讓它給所有那些得出純實數或純虛數函數值的自變量作上記號。一個自變量，如果它的函數值是2或-2或2i或-2i，就要做上記號；如果它的函數值是3-7i，就不做記號。換一種方式說，被ζ 函數映射到實軸或虛軸的所有那些點都要做上記號。當然，因爲實軸和虛軸在原點相交，得出這兩條軸交點的自變量，就將是函數的零點。用這個方法，我可以得到ζ函數的某種圖像。

自變量平面，顯示了被zeta函數“映射”到實軸和虛軸上的點。

上圖顯示了這隻小螞蟻探索旅行的結果。其中的直線顯示了實軸、虛軸及臨界帶。而所有的曲線都是由那些能被映射到實軸或虛軸上的點組成的。

試圖想象出zea函數對複平面的作用結果是一項非常費力的智力操練。上面分析了，平方函數將這張平面在它自身上方拉伸了一圈，形成了雙層膜曲面，而zeta 函數則無窮多次地做了同樣的事情，產生了一個有無窮多層膜的曲面。如果你發現這很難被形象化，不要覺得很沮喪。你需要經過幾年的長期實踐才能獲得對這些函數的一個直觀感受。就像我說過的，我這裏要用一種比較簡單的方法。

現在我要讓它沿着一些那樣的曲線漫步。假設它從所站的點-2處開始起步。因爲這是zeta函數的一個零點（平凡零點），函數值"顯示屏的讀數是0。現在他沿着實軸開始向西走。函數值從零開始緩慢爬升。

它向西剛走過點- 2.717262829 時，函數值到達數0.009159890。然後它開始向着零跌落。函數值將一直下降，在自變量爲-4時到達零。

另一種表現一個函數的方式是採用函數值平面的"來源"圖。前面討論的是被映射到令人關注的值（在那些例子中是純實數和純虛數）的自變量，與此不同的是，我可以給出一張函數值平面的圖，顯示來源於令人關注的自變量的那些函數值點。

讓我們想象那個自變量螞蟻有一個生活在函數值平面上的孿生兄弟。這個兄弟當然就是函數值螞蟻。讓我們進一步假設，這兩兄弟保持着即時的無線電聯繫；而且它們用這個方法使它們的運動保持同步，以保證在任何瞬間，無論自變量螞蟻正站在哪個自變量上，函數值螞蟻就正站在函數值平面內的對應值上。例如，如果自變量螞蟻正拿着它那設定在zeta函數上的小儀器在1/2+14.134725i上，那麼函數值螞蟻就站在它的平面即函數值平面的0上。

現在假設，自變量螞蟻不再沿着自變量平面上那些奇特的環線和螺旋線走（它們使得函數值螞蟻只能乏味地在實軸和虛軸上來回行走），而是從自變量1/2出發，沿着臨界線向正北方筆直走上去。那麼函數值螞蟻將沿着什麼路線前進呢？

函數值平面，一張非常經典的圖，顯示來自臨界線上的那些點的函數值。

它的出發點是zeta（1/2），值是-1.4603545088095……。然後它在原點下方按逆時針方向走出一條類似半圓的弧線，接着在1附近拐彎並按順時針方向轉圈。它向原點走去並經過了它（那是第一個零點——自變量螞蟻正好經過1/2+14.14.134725i）。然後它繼續按順時針方向轉圈，並不時經過原點——每當它那位在自變量平面上的孿生兄弟踏上了zeta函數的一個零點。當自變量螞蟻到達1/2+35i時，我停止了函數值螞蟻的漫步。到這時爲止，這條曲線五次經過了零點，對應於圖上的五個非平凡零點。注意，臨界線上的那些點有一種強烈的傾向，它們要映射到帶有正實部的點上去。

再說一遍，函數值平面不像自變量平面那樣是“映射”圖；它是"來源"圖，顯示了zeta函數作用於臨界線的結果。函數值平面圖中的這條不斷轉着圈子的曲線就是zeta（臨界線），即來源於臨界線上點的所有函數值點的集合。

一般而言，自變量平面的"映射"圖對於理解一個函數的廣泛性質（即它的零點在哪裏）來說是更好的工具。而函數值平面的"來源"圖對於研究這個函數的特定方面或奇妙特性來說會更有用。"

黎曼猜想宣稱，zeta函數的所有非平凡零點都位於臨界線上——實部是1/2的複數所構成的直線。目前知道的所有非平凡零點確實都位於那條直線上。當然，那並不能證明什麼。zeta函數有無窮多個非平凡零點，沒有一張圖可以把它們全都表示出來。我們怎樣才能知道第一萬億個，或者第一億億億個，或者第一億億億億億億億億億個是位於臨界線上的呢？我們不知道，通過畫圖無論如何也無法知道。它與素數到底又有什麼關係呢……

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