黎曼猜想可能是有史以来最大的未解数学问题，但它只是一个更大故事的一小部分，这个故事就是寻找支撑L函数理论的新几何的探索。在黎曼猜想的传奇世界里，我们将解释L函数是什么，阐述这个新几何的梦想，有些人称之为一元域上的几何（geometry over the field with one element），或F1。我会解释它与黎曼猜想的联系，以及其他伟大的问题，比如BSD猜想和朗兰兹计划（langlands program）。这是一段漫长的旅程，起点是L函数的理论，其中最简单的例子就是黎曼ζ函数。梦想是找到这个未知的、隐藏的、难以捉摸的F1几何。我们的希望，就是这个几何能为黎曼猜想的证明开启一条路径。首先，我想向你们展示马宁（Manin）的一篇文章，作为F1的入门，然后简要回顾一下黎曼猜想，最后说一些关于如何寻找黎曼猜想证明的事情。
F1入门
作为对F1的初次接触，我向你们展示尤里·马宁的一篇文章。马宁是一个传奇人物，他是世界上为数不多的拥有全面数学知识的数学家之一。在这篇文章中，我只想指出一些我们将来会遇到的关键想法。你们可以自己阅读这篇文章，它是公开可见的。文章的标题是“把数字看作函数（NUMBERS AS FUNCTIONS）”，其思想是为了解决数论中最深奥的问题，我们可能需要重新想象数学的核心本质。特别是，我们可能需要重新思考我们对“数字”这个词的理解。马宁讨论了一种特定的做法，这是按照亚历山德鲁·布伊乌姆（Alexandru Buium）的理论发展出来的。在摘要中，你可以看到这个短语，“一元域上的几何”。他还提到一个非常意外的想法，即素数和物理之间可能存在深层的联系。整篇文章都是在讲述一个故事，即许多不同的想法之间存在意想不到的联系。让我们一起浏览这篇文章。首先，这可能是最著名的数学公式之一，e 的 πi 次幂等于负一。他还提到了黎曼ζ函数的特殊值，即 π^2/6，你可能在与巴塞尔问题的关系中看到过这个公式。文章开头的讨论主要关注一类特殊的数字，它们在量子场论中出现的原因令人费解。这些数字被称为周期（periods）。在第三页，我们遇到了一个超级重要的想法，即单位根（roots of unity）。然后在第四页的开头，他提到了我们的希望，即接近黎曼猜想。一些有趣的周期示例包括代数数字，也就是多项式方程的零点，数字π也是一个周期，然后还有这些奇怪的数字，这可以通过将伽马函数应用于有理数来得到。所以我们可以把它们叫做分数伽马值（fractional gamma values）。这里的所有内容都非常有趣，我想提到的最后几个概念是费曼积分或费曼路径积分（Feynman path integrals），它们与量子场论中的振幅有关。然后在第14页，有些概念被称为格罗滕迪克环和维特环（Grothendieck rings and Witt rings）。它们是具有所谓"lambda-运算”的代数结构的例子。在第16页，我们看到了一个被称为F_q的东西，这是一个有限域，我们会回过头来再谈这个，还有这个符号F_1，它是这种神秘几何的核心。最后在第18页，他使用了“深不可测的深渊”这个短语，我非常喜欢这个词，因为它传达出在这个思想空间中你遇到的深度的感觉。
