黎曼猜想可能是有史以來最大的未解數學問題，但它只是一個更大故事的一小部分，這個故事就是尋找支撐L函數理論的新幾何的探索。

在黎曼猜想的傳奇世界裏，我們將解釋L函數是什麼，闡述這個新幾何的夢想，有些人稱之爲一元域上的幾何（geometry over the field with one element），或F1。我會解釋它與黎曼猜想的聯繫，以及其他偉大的問題，比如BSD猜想和朗蘭茲計劃（langlands program）。這是一段漫長的旅程，起點是L函數的理論，其中最簡單的例子就是黎曼ζ函數。夢想是找到這個未知的、隱藏的、難以捉摸的F1幾何。我們的希望，就是這個幾何能爲黎曼猜想的證明開啓一條路徑。

首先，我想向你們展示馬寧（Manin）的一篇文章，作爲F1的入門，然後簡要回顧一下黎曼猜想，最後說一些關於如何尋找黎曼猜想證明的事情。

F1入門

作爲對F1的初次接觸，我向你們展示尤里·馬寧的一篇文章。馬寧是一個傳奇人物，他是世界上爲數不多的擁有全面數學知識的數學家之一。在這篇文章中，我只想指出一些我們將來會遇到的關鍵想法。你們可以自己閱讀這篇文章，它是公開可見的。

文章的標題是“把數字看作函數（NUMBERS AS FUNCTIONS）”，其思想是爲了解決數論中最深奧的問題，我們可能需要重新想象數學的核心本質。特別是，我們可能需要重新思考我們對“數字”這個詞的理解。馬寧討論了一種特定的做法，這是按照亞歷山德魯·布伊烏姆（Alexandru Buium）的理論發展出來的。在摘要中，你可以看到這個短語，“一元域上的幾何”。

他還提到一個非常意外的想法，即素數和物理之間可能存在深層的聯繫。整篇文章都是在講述一個故事，即許多不同的想法之間存在意想不到的聯繫。讓我們一起瀏覽這篇文章。

首先，這可能是最著名的數學公式之一，e 的 πi 次冪等於負一。他還提到了黎曼ζ函數的特殊值，即 π^2/6，

你可能在與巴塞爾問題的關係中看到過這個公式。文章開頭的討論主要關注一類特殊的數字，它們在量子場論中出現的原因令人費解。這些數字被稱爲週期（periods）。

在第三頁，我們遇到了一個超級重要的想法，即單位根（roots of unity）。

然後在第四頁的開頭，他提到了我們的希望，即接近黎曼猜想。

一些有趣的週期示例包括代數數字，也就是多項式方程的零點，數字π也是一個週期，然後還有這些奇怪的數字，

這可以通過將伽馬函數應用於有理數來得到。所以我們可以把它們叫做分數伽馬值（fractional gamma values）。

這裏的所有內容都非常有趣，我想提到的最後幾個概念是費曼積分或費曼路徑積分（Feynman path integrals），它們與量子場論中的振幅有關。然後在第14頁，有些概念被稱爲格羅滕迪克環和維特環（Grothendieck rings and Witt rings）。

它們是具有所謂"lambda-運算”的代數結構的例子。

在第16頁，我們看到了一個被稱爲F_q的東西，這是一個有限域，我們會回過頭來再談這個，還有這個符號F_1，它是這種神祕幾何的核心。

最後在第18頁，他使用了“深不可測的深淵”這個短語，我非常喜歡這個詞，因爲它傳達出在這個思想空間中你遇到的深度的感覺。

黎曼猜想回顧

我們快速回顧一下黎曼猜想。質數包括2，3，5，7，11，13，17，19等等。如果你寫下每個正整數的因數，你會看到質數，它們是隻有兩個因數的數。

讓我們看看一些較大的質數：

101，103，107，109，113，127，131，137，139和149。

從一個質數到下一個質數的跳躍，它們似乎是相當隨機的。有時兩個質數是直接相鄰的。像101和103這樣的孿生素數；但是有時候，它們之間會有巨大的間隙，像113和127。

這裏有沒有底層的結構？我們能否預測下一個質數的出現的？這就是黎曼ζ函數出場的時候。

質數與黎曼ζ函數的零點相連。ζ函數是從複數到複數的函數。這意味着，對於任何複數的輸入，將得到一個複數作爲輸出。例如，輸入2，輸出π平方除以6。輸入負1，輸出負1除以12。輸入負2，輸出0。所以數字-2，是黎曼ζ函數的一個零點。

如果把所有這些零點作爲複平面中的點，有些很容易計算，如-2，-4，-6等等，也就是負的偶數。

這些被稱爲平凡零點（trivial zeros）。其他的零點，被稱爲非平凡零點（non-trivial zeros），都包含在所謂的臨界帶（critical strip）中。

意思是，ζ函數零點的實部，在0和1之間。黎曼猜想聲稱，所有非平凡的零點，實部都等於1/2。

換句話說，它們都在所謂的臨界線上。數學家們已經計算過，這些非平凡零點的前12萬億個，它們的實部都是1/2。

虛部呢？你可以計算它們，對於前幾個零點，虛部大約是，14.1左右，21左右，25左右，這個數字序列被稱爲黎曼譜。

我們可以使用Sage計算更多的這些值。

要初步理解這些零點爲什麼如此有趣，讓我們看看函數

這是一個餘弦波，以14.1作爲角頻率，以對數x爲變量。這裏的“對數”是自然對數ln。讓我們繪製函數f從x等於1到15的圖形。

這看起來像是某種波，波長隨x的增大而增大，但看看峯值！雖然不完美，但接近1、2、3、5和稍大於7的地方有峯值。在11和12之間有最後一個峯值。

現在我們再給函數f的定義加上一個項：

這個函數在大致是1、2、3、5、7，然後稍高於12的地方有峯值，

現在我們繼續添加越來越多的項，

使用來自黎曼譜的數字構建這些餘弦波。使用前十個項，就會有非常清晰的峯值，分別在1、2、3、5、7、11和13的位置。

我們可以使用任意數量的項，讓我們使用一百個項，並將這個圖形擴展到x等於二十的地方，

現在，也許你可以猜出這些小峯值是什麼。在2之後，峯值出現在4、8和16。在3之後，峯值出現在9，然後會有更多的峯值出現在27、81等等。這些是2的冪和3的冪。總的來說，隨着我們添加越來越多的項，並擴大x值的範圍，所有的質數的冪都會出現尖峯。

這些圖表是一個初步的小提示，雖然我們通常關注的是質數，但質數的冪對我們也非常重要。只需記住，這些圖表，所有這些尖峯，並不是來自我們瞭解的質數，它們僅來自黎曼譜。所以顯然，這裏有一種連接，連接了黎曼譜和質數。這簡直是瘋狂的！質數與餘弦波無關。如果你深入研究這種聯繫的細節，你想了解有多少質數在給定數值之前，比如說在二十或一百萬之前，那麼關鍵就是了解一個零值可能離臨界線有多遠。最完美和最美麗的情況應該是，所有的零值實際上都完全在這條線上。這個猜想就是黎曼猜想。

黎曼猜想的證明

那麼，我們如何證明黎曼猜想呢？這是一個價值百萬美元的問題。關於黎曼ζ函數有很多書，關於黎曼猜想也有很多書。在其中的一些書裏，你會發現人們嘗試過的許多事情，以及可能在未來證明中起作用的許多想法的列表。當然，沒有人真正知道最終會有什麼效果。但是，我認爲，如果你想閱讀這些想法，最好的地方，也許是最好的地方，是布萊恩·康瑞（Brian Conrey）的一篇近期文章（RIEMANN’S HYPOTHESIS）。

康瑞是世界上黎曼猜想的頂級專家之一。他有很多很有趣的研究論文，但最著名的就是他證明了在臨界帶中至少40%的零值實際上在臨界線上的那篇。

你可以自己閱讀這篇論文（RIEMANN’S HYPOTHESIS），我只想強調我認爲最有趣的一些想法。一開始就討論了這個問題的歷史背景，以及質數和零值之間的聯繫。有一小部分關於“我們爲什麼認爲黎曼猜想是對的？”的內容，這也非常有趣。然後引入這個譜解釋的想法，

意思是零值可能是某個算子的特徵值。關於證明黎曼猜想的一些初步想法，聽起來很有趣。然後我想強調這個第16節，

魏爾的顯式公式和正性標準。17是李氏準則，