摘要：点评：构造普通的直角三角形求EF.另外一种类似的方法是：连接AF，过E作EM⊥AF，垂足为M.△AHF的三边较易求得，AE=1，△AHF∽△AEM，可得EM、AM、FM的长，于是EF=√(EM²2+FM²)=√2、2.参见图15.。则CG=BG-BC=ED-BC=2-1=1.则△ECG是等腰直角三角形.则EF=12EG=√22.点评：构思巧妙，运算量也不大.也可以连接并延长CF与DE交于点M，类似地证明△CEM是等腰直角三角形，可得EF=1/2CM=√2/2，参见图7.。

本文内容比较长，方法多样，需要耐心花半个小时消化

【教学相长•万法归宗】

【题目】

（2018•广东）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

（1）证明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

【答案】

解：（1）连接OC，在△OAD和△OCD中，

∵OA=OC，AD=CD，OD=OD，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO=∠CDO，

又AD=CD，∴DE⊥AC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC=AC/BC=2，

∴设BC=a、则AC=2a，

∴AD=AB=√(AC²+BC²)=√5a，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=1/2BC=1/2a，AE=CE=1/2AC=a，

在△AED中，DE=√(AD²-AE²)=2a，

在△AOD中，

AO²+AD²=（(√5a)/2）²+（√5a）²=25a²/4，

OD²=（OF+DF）²=（1/2a+2a）²=25a²/4，

∴AO²+AD²=OD²，

∴∠OAD=90°，

则DA与⊙O相切；

（3）

【方法一】（证△DEF∽△DBO）

由BC=1，AC=ED=2，得AD=CD=AB=√(AC²2+BC²)=√5.

则AO=BO=1/2AB=√5/2.

由AB=AD，AB⊥AD，得△ABD是等腰直角三角形.则BD=√2AB=√10.

如图4，连接AF，则AF⊥BD，则F是BD的中点.

则FD=1/2BD=√10/2.则DF/DO=DE/DB=√10/5.

又∠EDF=∠BDO，则△DEF∽△DBO.

则EFBO=DEBD=√10/5.

则EF=√10/5BO=√2/2.

点评：这是最常规的解法.

【方法二】（证△OEF∽△OFD）

如图5，连接OF，

由解法1知OE=1/2，OF=√5/2，OD=5/2，FD=√10/2.

则OE/OF=OF/OD=√5/5.

又∠EOF=∠FOD，则△OEF∽△OFD.

则EF/FD=OE/OF.则EF=OE/OF·FD=√5/5·√10/2=√2/2.

点评：与解法1有异曲同工之妙.

【方法三】（证三角形全等）

如图6，分别延长EF与BC，其交点记为G.

由解法1知EC=1，DE=2，F是BD的中点.易得△EFD≌△GFB.

则CG=BG-BC=ED-BC=2-1=1.则△ECG是等腰直角三角形.则EF=12EG=√22.点评：构思巧妙，运算量也不大.也可以连接并延长CF与DE交于点M，类似地证明△CEM是等腰直角三角形，可得EF=1/2CM=√2/2，参见图7.

【方法四】（利用全等证等腰直角三角形）

如图8，由解法1知△ABD是等腰直角三角形，

F是BD的中点，AF=BF=DF，AE=BC=1.

又∠CBF=∠EAF，

则△CBF≌△EAF.则CF=EF，∠EFA=∠CFB.

则∠EFC=∠CFB+∠EFB=∠AFE+∠EFB=∠AFB=90°.

由勾股定理易得EF=√22/.

点评：也可以用∠ABF=45°证明∠EFC=90°.

具体如下：由∠ABF=45°，弧AF=弧AF，

得∠ACF=∠ABF=45°.

又CF=EF，则∠FEC=∠FCE=45°.则∠EFC=90°.

【方法五】（利用弦切角求CF）

如图8，AF与DE的交点记为K.

在△AEK和△DFK中，∠AKE=∠DKF，∠AEK=∠KFD=90°，则∠EAK=∠KDF.

又由解法1知FD=AF，ED=AC，则△CAF≌△EDF.则EF=CF.

易知CD是⊙O的切线.则∠FCD=∠CBD（弦切角定理）.

又∠FDC=∠CDB，则△FDC∽△CDB.则CF/BC=CD/BD.

由解法1知CD=√5，BD=√10.

则CF=CDBD·BC=√5/√10·1=√2/2.

则EF=CF=√2/2.

【方法六】（证△ABC∽△OFM）

如图9，过点F作FM⊥OD，垂足为M，连接AF、OF.

OF是△ABD的中位线，则OF//AD.

又AB⊥AD，则AB⊥OF.

由∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，得∠1=∠3.

又∠ACB=∠OMF，则△ACB∽△OMF.则AB/OF=AC/OM=BC/MF.

结合解法1，可得√5/(√5/2)=2/OM=1/MF.

则OM=1，MF=1/2.

则EM=OM-OE=1/2.

则EF=√(EM²2+FM²)2=√2/2.

点评：注意到AO=FO，可得△AOE≌△OFM，也能求EF的长.解法4~解法6揭示了图中三组关键的全等三角形.本解法也可以不证全等，不证相似，直接设OM=x，则MD=5/2-x，利用OF²2-OM²2=MF²2=DF²2-MD²2，列方程(√5/2)²-x²=(√10/2)²-(5/2-x)²求EF的长.

【方法七】（证两次相似）由解法1知EC=1，ED=2，FD=√10/2.

易得△BCH∽△DEH，相似比为1∶2，则HC=1/3EC=1/3.

则BH=√(BC²2+CH²)=√10/3.

如图10，过F作FM⊥MD.易得△MFD∽△CHB.

则HC/MF=BC/MD=BH/FD，即(1/3)/MF=1/MD=(√10/3)/(√10/2).

则MF=1/2，MD=3/2.则ME=2-3/2=1/2.

则EF=√(ME²+MF²)=√22.

【方法八】（构造矩形）

如图11，过点D作DP⊥BC与BC的延长线交于点P，

过点F作FM⊥OD，垂足为M，MF的延长线与BP交于点N.

易知四边形ECPD、四边形ECNM、四边形MNPD都是矩形.

由解法1知ED=2.则BP=BC+CP=BC+ED=1+2=3.

由解法1知F是BD的中点，则FN是△BPD的中位线.

则FN=1/2PD=1/2EC=1/2.

则FM=1/2.

由N是BP的中点，得BN=1/2BP=3/2.

则EM=CN=BN-BC=3/2-1=1/2.

由△EMF是等腰直角三角形，得EF=√(EM²+FM²)=√2/2.

点评：也有的过点B作BP⊥OD，同理可以求EF的值，参见图12

【方法九】（平行线分线段成比例定理）

如图13，过F作FM//ED交AC于M.易知MF⊥EC，BC//FM//ED.

由F是BD的中点，得M是EC的中点.

则EM=CM=1/2EC=1/2.

由∠FCA=∠FBA=45°，得∠MFC=45°.则MF=MC=1/2.

则EF=√(EM²2+FM²)=√2/2.

【方法十】（面积法）

如图14，过E作EQ⊥BD，垂足为Q，连接BE、AF.

由解法1知BD=√10，F是BD的中点，

BF=DF=√10/2，DE=2.

由S△BED=1/2DE·EC=1/2×2×1=1，

S△BED=1/2BD·EQ=1/2×√10×EQ，

得EQ=√10/5.

DQ=√(ED²-EQ²)=3√10/5.

QF=QD-FD=3√10/5-√10/2=√10/10.

EF=√(EQ²2+FQ²)=√2/2.

点评：构造普通的直角三角形求EF.另外一种类似的方法是：连接AF，过E作EM⊥AF，垂足为M.△AHF的三边较易求得，AE=1，△AHF∽△AEM，可得EM、AM、FM的长，于是EF=√(EM²2+FM²)=√2、2.参见图15.

【方法十一】（构造中位线）如图16，连接BE、AF，

过点B作BM⊥BE，与DE的延长线交于点M，

连接BM.

易得△BCE是等腰直角三角形，

则BM=BE=√(BC²2+EC²)=√2.由△BEM是等腰直角三角形，

得EM=√(BM²2+BE²)=2=DE.

则EF是△BDM的中位线.

则EF=1/2MB=√2/2.

点评：解法11是众多解法中，思路最简洁、运算量最少的一种方法.也可以连接并延长BE至M，使得EM=EB，连接MD，类似地证明，参见图17.

【方法十二】（建立平面直角坐标系）

如图18，以O为原点，建立平面直角坐标系.

易知点B(-1/2，-1)、D(5/2，0).

则直线BD的解析式为y=1/3x-5/6.

⊙O的方程为：x²2+y²=r²=(√5/2)²=5/4.

联立方程，得点F(1，-1/2).

又点E(1/2，0)，

则EF=√2/2.

点评：也可以先证F是BD的中点，用中点公式求得F点的坐标.

【总结】

上述第（3）问的12种解法显示EF的长度可以通过这样几种方法求得：（1）构造相似三角形；

（2）构造等腰直角三角形；

（3）构造普通直角三角形；

（4）构造中位线；

（5）解析几何的方法.

所有的解法是不是感觉眼花缭乱呢，这些都是出自学生之手.

正所谓教学相长，学生也是老师学习的对象.

三人行必有我师焉.