來源：果殼

不久之前， 隨着一段關於“後浪”的視頻在B站爆紅，人們對於“後浪”象徵意義和文化內涵的討論也愈加熱烈。然而，除卻上述種種關於“後浪”深層內涵和意義的探討，對於“後浪”，尤其是“浪”本身含義的討論卻鮮見諸公衆視野。鑑於這種理論研究的缺失，本文旨在利用簡單的非線性動力學理論，解釋“後浪”這一現象背後的數學本質，進而分析作爲一個合格的“後浪”所應該具有的特質。

關鍵詞：後浪  非線性動力學  孤子

後浪的錯誤示範——成爲韭菜| 知乎@嘻嘻

引言：什麼是“後浪”？

所謂“後浪”，顧名思義，即後面的波浪。

根據《現代漢語規範詞典》的解釋，“波浪”乃是江河湖海等收到外力作用呈現出的起伏不平的水面。根據起伏的劇烈程度不同，我們定義微小的“浪”爲“波”，巨大的“波”（咦？好像混進了什麼奇怪的東西？）爲“浪”。

人類對於波浪的觀察自古有之，但在自然科學中，其概念要更爲寬泛：水波、聲波、電磁波、風浪、湧浪、近岸浪⋯⋯不一而足。進入十八世紀，達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利、拉格朗日等人對波動方程的系統研究，更是爲後人深入認識“波浪”這一物理現象奠定了堅實的數學基礎。

達朗貝爾（左上）、歐拉（右上）、丹尼爾·伯努利（左下）、拉格朗日（右下） | Wikipedia

讓·勒朗·達朗貝爾，法國物理學家、數學家和天文學家。24 歲成爲法國科學院天文學助理院士；

萊昂哈德·歐拉，瑞士數學家和物理學家，被認爲是有史以來最偉大的數學家之一，13 歲考入巴塞爾大學；

丹尼爾·伯努利，約翰·伯努利之子，流體力學和概率與數理統計先驅，21 歲獲得博士學位；

約瑟夫·拉格朗日，法籍意大利裔數學家和天文學家，被腓特烈大帝稱做“歐洲最偉大的數學家”，19 歲的論文爲變分法奠定了理論基礎。

——一言以蔽之，都是後浪

早期的數學家主要利用波動方程來描述“波”[1]：

一維波動方程：

二維波動方程：

三維波動方程：

其中 u 代表弦（一維）/水面（二維）/空間（三維）中的一個點在 t 時刻的位置，f 可以簡單地理解爲這一點所收到的外力。

對於波動方程，只要給出邊界條件和初始條件，就可以得出方程的解。

換言之，我們就知道了波上任意一點在任意一個確定的時刻的準確位置。

上圖：一維波動方程（如琴絃）的一個解

下圖：二維波動方程（如水面）的一個解

（對於波動方程，可以通過Mathematica之類的軟件輕鬆實現可視化。不過既然某基百科上有現成的圖，筆者就直接拿來主義了。）

圖片來源 | Wikipedia

相較上面我們介紹的“波”，“浪”的原理相對來說更爲複雜。以海浪爲例，風、天體引力、地震、火山爆發、大氣壓、海水密度分佈等因素都會對其造成影響。

當然，本質上來說，浪可以視作是由無限多個振幅不同、頻率各異、方向不定、相位雜亂的波組成的，所以上述波的理論整體上而言仍然適用。

《海賊王》中白鬍子發動震震果實的能力，使海面產生許多細小的浪花。這些浪花聚集，最終形成巨浪 | iqiyi

從上面的例子我們不難看出，無論是“波”還是“浪”，似乎都不是穩定的存在。

振幅較小的波會隨着傳播距離的增加而逐漸形變彌散，最後消失不見。而振幅較大的浪則會在前進的過程中愈發前傾，甚至會在某一時刻形狀坍縮，形成浪花。

看起來，“前浪”被拍死在沙灘上，主要還是它自己不穩定，怪不得“後浪”⋯⋯ 不過，要是“後浪”也這麼不穩定，豈不是很快就會淪爲又一波“前浪”了嗎？

凡事並沒有這麼絕對，譬如今天我們要講的這個故事。（沒想到吧，扯了這麼久纔剛剛步入正題。）

一個合格的“後浪”：KdV 方程的孤波解

讓我們把故事線跳轉到1834年的夏天。

話說，在英國愛丁堡格拉斯哥的運河旁，蘇格蘭工程師羅素（John Scott Russell）正騎馬漫步。突然間，運河中一個奇怪的波浪引起了他的注意[2]。

根據他事後的描述[3， 4]，運河上的船“突然停下來⋯⋯大量河水並不停止，它們彙集在船頭附近⋯⋯形成一個圓而光滑、輪廓分明、巨大的孤立的高水頭，沿着運河繼續前進，沒有明顯的形狀改變和速度減小。”

約翰·羅素（左）vs伯特蘭·羅素（右）| Wikipedia

約翰·羅素是蘇格蘭海軍工程師，也就是上面奇怪波浪的發現者，同時還是1851年世博會的發起人。

然而大家一般提起“羅素”，往往指的是《西方哲學史》的作者，提出了“羅素悖論”的伯特蘭·羅素。然而他與今天的故事——毫無關係⋯⋯

（這裏放上伯特蘭·羅素的照片純粹就是爲了防止有的同學認錯人。）

考慮到奇怪波浪的形狀和移動速度都保持不變，羅素首先用“solitary”來形容這一類波，即孤波（solitary wave）。

爲了弄清楚孤波的形成原因，羅素建造了一個一端帶有重錐的水槽，用重錘落入水槽的一端來產生孤波。

羅素實驗示意圖

重錘落水後，產生的孤波以恆定的速度v向右移動並保持形狀不變。

在實驗中，羅素還發現水槽的靜水水深H與孤波的振幅h有如下關係：

其中k是比例常數。這說明振幅較高的孤波移動速度也更快。此外，實驗證明孤波中水的體積相當於重錘排開的水的體積，所以振幅高的波也相對較窄。

不過可惜的是，羅素並沒有嘗試從流體力學的角度分析這個問題，也沒有給出孤波的數學解釋[3， 4]，所以在接近半個世紀的時間裏，他的研究始終沒有受到重視。

直到1895年，荷蘭數學家科特韋格（Diederik Korteweg）和德弗里斯（Gustav de Vries）提出了KdV方程，才從數學上肯定了羅素當年的發現。

布辛尼斯克（左）、科特韋格（中）、德弗里斯（右）|Wikipedia

布辛涅斯克，法國數學家。布辛尼斯克在其1877年的著作[5] 中已經得出相關的結論。不過直到1895年科特韋格與他的學生德弗里斯發表了他們關於淺水中小振幅長波運動的方程之後[6]，相關研究才逐漸在學術界得到重視，所以最終也以兩人的名字將方程命名爲KdV方程。

KdV方程最初寫作

通過變量替換進行簡化處理（即無量綱化）後得到

關於KdV方程的推導，過程稍顯冗長，感興趣的讀者可以參考[2，7]。（事實上筆者確信已找到了一種絕妙的推導方法，可惜這裏空白的地方太小，寫不下……）

這裏的無量綱化，指的是通過合適的變量替換，將方程中涉及物理量的部分的單位移除，總之是一種簡化運算的手段。

求解KdV方程的思路有很多，經典的包括行波法、Lax對法、雙線性算法、反散射方法等等，這些思路也是現代可積系統研究的主要方向。這裏簡要介紹行波解的求法。

不失一般性，我們討論無量綱化的KdV方程

假設方程存在以下形式的解

將其帶入KdV方程，稍作處理就可以得到

其中符號的含義與上文相同，c爲波速，x0爲任意常數。

這樣我們就得到了一個合格的“後浪”：局域分佈（只存在於空間中的一個小區域），且形狀不隨時間演化。

之後我們還會看到，孤波間作用後還具有彈性碰撞的性質（即碰撞後，形狀能夠恢復，且沒有動能損失）。

KdV方程的孤波解| 作者繪製

孤波形成的數學原理：擠壓與色散

現在，我們回過頭來思考孤波形成的數學原理。

前面提到，一般而言，波浪在運動過程中往往會呈現兩種狀態：要麼逐漸衰弱消失（色散），要麼向前聚集。

前者出現的原因主要在於這種波浪可以被視爲由多個速度（頻率）不同的波疊加而成。隨着波的傳播，其分量彼此遠離，也就是所謂的色散現象。

湯姆貓擊打水面，水面蕩起水波，但不久便消散——這就是所謂的“色散現象” | iqiyi

初始時刻，藍色波的振幅相當於紅、綠、紫波效果的疊加（左圖）

一段時間後，由於紅、綠、紫波波速不同，色散現象出現（右圖）

“色散”一詞通常用在可見光的情境中，但可以推廣至任何波動。當不同波長的平面波傳播速度有差異時，色散現象便會發生。

另一方面，對於後一類波浪而言，由於波上不同的點速度不同，波在向前傳播的過程中受到擠壓效應，便會發生變形。

湯姆抖動繩索，傑瑞難逃厄運——繩子的形狀是典型的非線性波| iqiyi

初始時刻，波浪爲經典的鐘形，但不同位置波速不同（左圖）

一段時間後，由於頂端速度更快，所以波浪的形狀會向前傾（右圖）

而今天我們討論的孤波，恰好同時具有了上述兩種特性。事實上。孤波解只存在於非線性色散方程之中。方程的非線性會導致波陣面捲縮，也就是剛剛提到的擠壓效應，而色散意味着波浪的傳播速度依賴於波的頻率和波長，這導致波浪在傳播過程中散開。兩者共同作用，效果相互抵消，就形成本文介紹的穩定的孤波。

湯姆即將被後浪打在沙灘。在這個例子中，海面上的浪就是平衡了色散和非線性效應的後浪 | iqiyi

後浪的自我修養：穩定性和粒子性

與其他的波浪相比，合格後浪（孤波）最大的特點就在於其穩定性和粒子性。接下來的數值實驗就可以很好地體現這兩個特點。

如果都是孤波，那麼後浪追趕前浪，可以不必拍死前浪| 作者繪製

在上面的數值實驗中，振幅較大的浪（後浪）追趕振幅較小的（前浪），併發生碰撞。但碰撞之後，二者恢復原本的形狀，且遵守動量守恆和能量守恆（即發生了彈性碰撞），這也就使得孤波具有了穩定性和粒子性。因此不少學者也將孤波成爲“孤子”或“孤立子”。

值得一提的是，在早期的文獻中，孤子往往指的是那些包含不止一個孤波的解（譬如上面的數值實驗就包含了兩個孤波，也就是傳統意義上的孤子），而只有一個波的解則被稱爲孤波。但現在的很多文獻中把能發生強烈相互作用，但相互作用後除相位外其他特徵（如形狀、速度等）均保持不變的波皆稱爲孤波或孤子，並不加以明確區分。

鍾型孤子

暗孤子

扭型孤子

呼吸子

幾種典型的孤子 | Wikipedia

很多經典的方程都具有孤子解，如KdV方程、非線性薛定諤方程、耦合非線性薛定諤方程、正弦-戈爾登方程、雙曲正弦-戈爾登方程等。孤子的類型也多種多樣，包括鍾型孤子、暗孤子、扭型孤子、反扭型孤子，呼吸子等。

講了這麼多，最後總結一下孤子/孤波的特性[8]：

具有穩定的形態；

局域分佈；

與其他孤子作用後特徵不變或只有相位發生改變。

由此看來，作爲要成爲衆人矚目的後浪，保持“穩定”、堅持自己的特色纔是根本。這也不禁讓人想起了後浪輩出的英國皇家學會和它的格言——

Nullius in verba

不隨他人之言

（這就是所謂的強行昇華主題吧⋯⋯）

參考文獻

[1] 谷超豪。 數學物理方程。 高等教育出版社， 2002。

[2] 倪皖蓀，魏榮爵。 水槽中的孤波。 上海科技教育出版社， 1997。

[3] J.S。 Russell。 Report of the committee on waves。 In Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science， 1838。

[4] J.S。 Russell。 Report on waves。 In Report of the 14th Meeting of the British Association for the Advancement of Science， 1844。

[5] Joseph Boussinesq。 Essai sur la théorie des eaux courantes。 Impr。 nationale， 1877。

[6] Olivier Darrigol。 Worlds of flow： A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl。 Oxford University Press， 2005。

[7] 陳登遠。 孤子與可積系統。 科學出版社發行部， 2008。

[8] Robert Savit。 Solitons： An introduction （book）。 Physics Today， 1990。

作者：鑄雪

編輯：Steed