本篇文章旨在證明微積分基本定理，對於不那麼熱衷於代數的人來說，這是一種視覺方法，而對於那些對精確性不那麼嚴格的人，要採用一種代數的，稍微更嚴格的方法。

我們將理解數學中最重要的歷史證明之一。之所以重要，是因爲它將以前不可能解決的問題（即函數的積分問題）簡化爲查找導數的藝術。

這個證明的奇妙之處在於，有兩種方法，兩者互爲補充，但也可以獨立理解。首先，我們將看到定理的非正式表述，以及證明的非正式表述。這將給讓我們直觀感受微積分並且瞭解它的本質。這個證明是可視化的，不需要過多或複雜的代數。這一部分將傳達一些關鍵的思想，而不用代數，但代價是不那麼精確。

導數簡介

導數是關於用直線逼近函數的。它的思想是，在一點附近，切線可以很好地近似函數的變化方式。一條直線在某一點上的導數可以看作是該點“最佳”線性近似值的斜率。

導數是接近某一點的“最佳”線性逼近。對於很多函數，關於函數的很多信息都包含在使用線性函數來近似它的過程中。顯然，這種近似不是完美的，但我們就可以瞭解到函數的很多信息。

第0部分：非正式表述

微積分基本定理告訴我們，如果我們將F(x)定義爲F(t)圖像下在0到x之間的面積，那麼F(x)的導數就是f(x)

讓我們來理解一下這是什麼意思。下面是一條紅線，這是我們的函數f，我們想求出0到x之間的面積。函數F告訴我們，對於x軸上的每一點，曲線下的面積是多少。

我們想要確定函數F在x點處的導數是什麼。我們可以用圖形計算器來繪製F(x)，如下所示：

函數F的圖像這個函數看起來應該有導數。但它是什麼呢？

第一部分：非正式的證明

F(x)在x附近的最佳直線近似值是什麼？

假設F(x+dx)大致等於F(x) +dx * F(x)

例如，在x = 8時，我們可以說F(8.00001)很接近於F(8) +0.00001* F(8)。對此的“視覺”證明是什麼？

再看一下圖下的面積。

當我們使用近似F(x+dx)大約等於F(x) +dx * F(x)，我們看到以下內容。dx*f(x)用紅色矩形的面積表示，它的高是f(x)，寬是dx。這是一個好的線性逼近嗎？是的！重新寫一下，x = 8處的近似函數是F(8) + h* F(8)。我們還可以看到，這個矩形包含了F(x+dx)得到的所有面積。下面可以看到，我們遺漏的區域只是藍色陰影的小區域，它比矩形區域小得多。

然而，我們可以對這個證明做一些改進。它在這個圖上看起來是一個很好的近似，但是它對所有的圖都適用嗎？此外，我們如何定義我們的“最佳線性近似”?這就需要用一些代數來表述這個問題。

第二部分：使用代數的語句

首先，我們要定義導數。具體做法如下：

極限的意思是看當dx趨近於0時表達式的變化。所以，你可以計算下面的序列，看看它趨向於什麼：

我們得到了一個很好的視覺圖形：

然後我們看到，當dx趨於0時，F(x)和F(x+dx)之間的直線的梯度的極限被定義爲導數。這可以從下面的GIF中看到：

我們使用極限是因爲，當x = 0.01或0.00001對這個函數來說似乎是很小的，但對於一個像x^1000000000000000000000000000這樣的函數來說，0.01的差會導致結果的巨大變化。該限制意味着dx可以任意減小，以便我們始終可以放大縮小到足以使我們的函數可以由直線近似的程度。

接下來，我們需要一些符號來表示曲線下從0到x的面積，如下：

f(t)dt是什麼意思？一種看待它的方法是f是某個變量t的函數，因此我們對t進行積分。表示我們積分距離的變量是x，因此積分的上限是x，但我們將f（t）寫成t的函數。除了避免兩次使用'x'之外，我們爲f使用哪個變量名實際上都沒有關係。

現在，我們的任務是證明：

第三部分：用代數方法證明

我們現在證明：

首先我們觀察到

這是因爲我們只關心x和x+dx之間的面積。如下圖所示，我們對紅色區域非常感興趣。

那麼，接下來的問題就是求出下面的極限是什麼：

這裏我們假設f(t)在t = x處是連續的。x點連續性的定義是什麼?這將花費你一點時間來理解！

覺得英文表述比中文表述更好理解這是什麼意思？舉個例子，例如，你可以將“ε”設置爲0.001。然後，我可能會發現如果t與x之間的距離小於0.00001，那麼我們就可以保證|f(t) — f(x)| < 0.001。在本例中，假設x = 8，那麼|f(8) — f(8.000001)|<0.001，因爲8.000001離8的距離小於0.00001。

表達這個思想的另一種方式是：

基本上，我們將f（t）寫爲兩部分之和：f（x），以及f（t）與f（x）的誤差（用Error表示）。當t趨近於x時，誤差項趨於0。

換句話說，當帶的長度趨於0時，包含x的帶內的最大誤差趨於0。我製作了下圖來說明這一點：

當t趨於x時，隨着帶的長度趨於0，我們可以看到帶中的最大誤差趨於0。我們用它來重寫方程：

但是，f（x）只是關於dt的一個“常數”項。

回到之前的圖，紅色矩形表示f(x) dx，藍色陰影部分表示誤差項的積分。

我們快要完成了!

我們要做的只是表明誤差的積分除以dx趨於0。回想一下連續性的定義。如果我們將接近目標設置爲0.01，那麼對於所有t適當地接近x，誤差項都在0.01之內。然後，我們將對某個寬度dx的積分，最大高度是0.01。所以積分除以dx的值最多是0。

下面是一個直觀的演示：綠色箭頭雙面箭頭表示距x的'dx'距離內的最大誤差項。很明顯，紫色矩形的面積是對誤差的高估，因爲它的高度總是大於或等於最大誤差。從圖中可以看出，紫色矩形的高度爲最大誤差，寬度爲dx。

因此，假設最大誤差趨於0，則誤差除以dx的積分也趨於0！

但是，正如我們已經看到的，在越來越窄的條帶內，最大誤差確實趨向於0。

因此，我們得出結論：

第三b部分：更一般的證明和更嚴格的方法

事實證明，我們的方法仍然可以改進。首先，我們應該如何定義積分？“圖下面積”作爲一個概念很有用，但如果我們想用微積分中的這些概念來解釋沒有漂亮圖的函數和情況，它就幫不了我們了。

低估面積

我們在圖下面畫一些矩形，然後把它們的面積加起來。由於矩形在每一點都低於圖形，這提供了一個低估的面積。

當我們使矩形的底變小時，我們得到了越來越好的近似

高估面積

定義黎曼積分爲了定義這個積分，我們看看當矩形底的寬度趨於0時，上分區和和下分區和的值的極限。如果這兩個值相等，我們說黎曼積分存在。

爲了證明微積分基本定理，我們有兩種選擇。如果我們假設f(x)是連續的，我們按上面的方法進行。如果我們僅僅假設f(x)是黎曼可積的但不一定是連續的，我們就必須對上分區和下分區和做一些手腳並使用一些其他技巧。

結語：解決以前不可能的問題

總之，事後看來，這個定理很難證明，但現在它解決了一些非常非常困難的問題。就像數學中經常出現的情況一樣，最重要的定理會找到關於一整類問題的最相關的信息，然後使凡人能夠解決以前連天才都難以解決的問題。

爲了解決這個問題，我們只需發現x^(n+1)/(n+1)通過微分一個多項式的規則微分到x^n。然後根據微積分基本定理，F(x) = x^(n+1) /(n+1)給出了0到x之間的面積公式，代入x = 1就得到了答案。

如果沒有微積分的基本定理，你可以做出來嗎？

直覺和視覺思維在數學中的作用

微積分基本定理的有趣之處在於，如果沒有人類的直覺和視覺思維，最初幾乎不可能想出相關的定義。但是，這就要求我們具備使語言精確化的能力，以將這些思想轉變爲可以在不同上下文中進行操作的數學對象，例如，使用與許多變量甚至無限變量的積分，並最終推廣到勒貝格的積分理論或使用微分幾何的怪異而奇妙的表面。