三角函數正弦函數的定義

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定義一：正弦（sine），數學術語，在直角三角形中，任意一銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA（由英語sine一詞簡寫得來），即sinA=∠A的對邊/斜邊。

突然發現，這個定義是有問題的。這個定義非常直觀，適合入門，但問題是隻能將角的取值範圍定義爲0°到90°之間，而且不包括0°和90°。這個定義不支持自變量的取值範圍：。

另一個高級的定義：在直角座標系中，給定單位圓，對任意角α，使角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓交於點P（u，v），那麼點P的縱座標v叫做角α的正弦函數，記作v=sinα。

這個定義就沒有上述限制了。

三角函數對照表

以前是沒有計算器或其他任何電子計算工具，當時人們是計算三角函數值時，常常採用三角函數對照表。

三角函數對照表

但三角函數對照表是近似值，在一些計算精度要求很高的場景，可能並不能滿足要求。

三角函數的解析值含義

以正弦函數值求法爲例，因爲求得正弦函數值，就不難求出其他三角函數的解析值。這裏的解析值是指精確解（如），而非近似解（如1.41421356237）。

從下文可以看出，1°到90°的三角函數（如正弦函數值）都有解析解，都可以通過正整數的加減乘除、開根號（二次根號、三次根號等）、負號等構成的表達式表示，是精確值，而非三角函數表中的近似值。

根據三角函數的誘導公式，就不難求出91°-360°角的三角函數解析值。

0°-90°的三角函數解析值求法

根據正弦函數的定義，不難得到：

道生無，無即0。“道”（Tao）即前面的關於正弦函數的定義。

我們就從0出發給出所有1°到89°的正弦函數的解析值（注意是精確的解析值，而非小數的近似值）的求法。

∵,所以

• ∴

根據正弦函數半角公式，得出：

根據正弦函數的三倍角公式得到：，也即，這個是的一元三次方程。解該方程，得到：

15°角的三角函數值有其他求法，如

根據正弦函數的三倍角公式得到：，也即，這個是的一元三次方程。解該方程，得到：

，這是一個用複數表示的實數。

下面求18°角的三角函數值，做如下等腰三角形，並做輔助線和，爲的角平分線，。

設、。不難得到。故，即，解得，。

故

∵，

∴

∴是一元三次方程的一個實根。一元三次方程一定有一個解析解等於。這個解析解記爲，即

• ，是一個非常複雜的複數表示的實數。

道家：無生有！

只要算出了的值，其他任何整數度數的三角函數就迎刃而解了。正所謂“有生萬物”！

• （一生二）

，帶入的值，得到

，這個值與的值存在神祕的關聯！！！

，帶入和，計算得到：

，帶入、、和，計算得到：

• ，這個值與的值有密切的關係。

，帶入相關值，得到：

，這個值形式上與和神祕關聯。

，帶入上述已經求出來的相關值，得到

，帶入前面的計算結果，得到：

，這個值與形式上與、和神祕關聯。

，帶入、的值，求得：

#

類似的當，因爲前面已經求出了，故：

結論

1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、

11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、

21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、

31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、

41°、42°、43°、44°、45°的正弦函數值都是有精確解，在此基礎上可以計算出他們的餘弦函數值，再根據三角函數的誘導公式，計算出46°-90°的正弦函數，進而求出其他任意整數度數的三角函數精確值表達。

求得精確值後，在實際工程應用中，可以根據具體場景需要，計算到任意精度。

當然，人類的計算手段越來越豐富，實際工程中，多半會採用三角函數的泰勒級數展開，如

正弦函數的連分數表示：

這兩個公式中的自變量是弧度，而非度數。如果是弧度，級數展開公式變爲：