英國數學家對數學發展的貢獻是在獨創性方面。布爾的就是一個典型的例子。布爾的邏輯代數迅速發展成爲純數學的一個主要分支。各國數學家們把它擴展到一切數學領域。伯特蘭·羅素說，
純數學是布爾在1854年出版的他的《思維規律》一書中發現的。
這表明了數學邏輯及其分支在今天的重要程度。布爾以前的其他人，特別是萊布尼茨和德·摩根，曾經夢想過要把邏輯本身加進代數的領域。布爾將它變成了現實。
布爾於1815年11月2日出生在英格蘭的林肯，是一個小店主的兒子，屬於社會底層。當時英國學校裏學生的目標是將來擔任當時開始流行的工廠和礦山的工頭。這些學校不是爲布爾這類人設立的。布爾進的“國立學校”，主要目的在於把窮人留在適合他們的卑賤地位上。布爾所處的時代，懂得一點點可憐的拉丁文，或者再稍微懂一點希臘文，是一個上等人的標記。說來奇怪，靠死記硬背記住拉丁文的句法，卻被認爲是最有用的腦力訓練。
布爾也趨之若鶩地作了一個可悲的錯誤判斷，他認定，想要走出困境，必須學習拉丁文和希臘文。事實是，拉丁文和希臘文與他窮困的原因毫無關係。到12歲時，布爾已經掌握了足夠的拉丁文，能夠把一首賀拉斯的詩翻譯成英文詩了並在地方報紙上發表了它。這引起了一場文化上的爭吵，部分是對布爾的讚揚，部分是對他的羞辱。
  • 14歲時，布爾翻譯了當地出版的希臘詩歌《春之頌》
布爾最早的數學教育來自他的父親，他父親通過自學，遠遠超出了他自己所受的那一點點教育。但是布爾堅持認爲古典文學是主宰生活的鑰匙。到16歲時，他便被迫贍養自己的父母了，找了一份小學老師的工作。
布爾在兩所小學教了4年書。他在資本方面一無所有，掙得的每一個便士，都是用來贍養他的父母和維持自己清貧生活的最低需要了。進軍隊，在當時是他無力辦到的，因爲他買不起委任狀。當律師，在財產和教育方面都有明顯的要求，而他不可能滿足這些要求。還有什麼呢？只有教會了，布爾決定當一名教士。但是在貧窮的折磨下，布爾放棄擔任教士職位的一切想法。但是他爲理想生涯所作的4年私下準備，並沒有完全白費；他精通了法語、德語、意大利語。
  • 布爾開的一所私人學校
幾經周折，布爾在20歲時開辦了自己的一所私人學校。在給他的學生們教授數學的過程中，布爾對數學產生了興趣。當時那些平庸的、令人討厭的教科書，先是使他驚訝，然後是激起他的輕蔑。這些東西算是數學嗎？難以置信。同阿貝爾和伽羅瓦一樣，布爾直接到原始的數學大陸去尋找真正的數學。他只受過初步的數學訓練，但他靠自己的努力，掌握了拉普拉斯的《天體力學》，而這是拉普拉斯最深奧的傑作之一。他還對拉格朗日的非常抽象的《分析力學》，作了徹底的研究。他甚至憑自己的努力，沒有任何人指導，作出了他對數學的第一個貢獻——寫出一篇關於變分法的論文。
  • 1831年，布爾開始了一項雄心勃勃的數學自學計劃。他用法語閱讀拉格朗日和拉普拉斯的高等數學著作。他研究並精通艾薩克·牛頓爵士的偉大著作《數學原理》。
布爾從他這段孤獨的研究中，取得了另一項成就，他發現了不變量。要是沒有不變量的數學理論，相對論就是不可能的。布爾之所以能看出其他人忽略的東西，無疑是由於他對於代數關係的對稱和美有很強烈的感覺。
可以指出，代數的現代概念開始於英國。皮科克在1830年發表了他的《代數論文》，當時被視爲多少有些異端的新奇東西，它在今天已成爲任何一本教科書中的常識了。皮科克徹底拋棄了我們在初等代數中看到的在諸如x+y=y+x，xy=yx，x（y+z）=xy+xz等關係中x，y，z，…必然"代表數"這種觀念。它們並不必須代表數，這正是關於代數及其應用的一件最重要的事情。x，y，z，…僅僅是按照一些運算結合在一起的任意符號。
如果不瞭解代數本身只不過是一個抽象系統，那麼代數可能仍然牢固地停留在18世紀的算術泥淖中，而不能在哈密頓指引下朝它的極爲有用的現代變種前進。代數的這個革新給布爾提供了他的第一次機會。他獨創性地指出，把數學運算的符號與它們據以運算的東西分開，並研究這些運算本身。它們是怎樣結合的？它們也受某種符號代數的支配嗎？他在這方面的研究是極其有意義的，但是他另一項偉大的貢獻，即創立一種簡單可行的符號體系或者說數理邏輯體系，使這項工作相形見絀。
爲了介紹布爾傑出的發現，我們稍稍偏離一下主題。19世紀有兩個知名的哈密頓，一個是愛爾蘭數學家威廉·羅恩·哈密頓，另一個是蘇格蘭哲學家威廉·哈密頓。善於辭令的哲學家哈密頓最後成了愛丁堡大學的邏輯學和形而上學教授。愛爾蘭的哈密頓則成爲了19世紀富於獨創性的數學家。
蘇格蘭的哈密頓太愚鈍，在學校時沒有學到比初等數學更多的東西，而他的弱點正是自認爲無所不知，當他開始講授和寫作關於哲學的東西時，他告訴世界，數學是多麼沒有價值。
數學使頭腦僵死和乾涸；過度研究數學使頭腦完全喪失哲學和生活所需要的智力；數學根本無助於養成邏輯習慣；在數學上，遲鈍於是被提升爲才能，而才能降格爲無能；數學可以扭曲頭腦，但永遠不會糾正頭腦。
英國數學史上一位重要的人物德·摩根出場了，他是有史以來最老練的辯論家之一，一個精力充沛的數學家，爲布爾開路的偉大的邏輯學家。
德·摩陷入與哈密頓關於其"謂項的量化"的的爭論（沒有必要解釋這個神祕的東西是什麼或曾經是什麼）。德·摩根對演繹法作出了真正的貢獻，但哲學家哈密頓認公開指責德·摩根竊取了自己的成果，於是戰鬥開始了。在德·摩根方面，辯論是一種愉快的嬉戲。德·摩根從來不發火；哈密頓從未學會不發脾氣。
如果這僅僅是關於優先權的爭吵中的一次，就不值得一提了。其歷史上的重要性在於，布爾那時是德·摩根的堅定的支持者。當時布爾仍然在小學教書，他知道德·摩根是正確的，哈密頓錯了。所以，在1848年，布爾出版了薄薄的一本《邏輯學的數學分析》。
這本小冊子受到德·摩的強烈讚揚。這本小冊子只是對在6年以後出現的更偉大的東西的預告。與此同時，布爾拒絕了去劍橋接受正統數學訓練的建議。他繼續在小學教書，因爲他的父母完全靠他供養。
1849年，最後他被任命爲新近成立的女王學院的數學教授。他做了各種各樣值得注意的數學工作，但他主要努力的是繼續使他的傑作（符號邏輯）趨於完善。1854年，39歲的布爾發表了這一傑作——《對於奠定邏輯和概率的數學理論基礎的思維規律的研究》。
下面摘錄的幾段將使我們對布爾的風格及其工作領域有所瞭解，
這篇論文的目的，是研究那些據以進行推理的心算的基本規律；用微積分學語言來表達它們，並在這個基礎上建立邏輯科學，構造它的方法；使這個方法本身成爲應用於概率的數學原理之一般方法的基礎；最後，從在這些探索過程中發現的各種真理的成分中，收集一些可能與自然和人類思維的構成有關的提示……
確實存在某些建立在語言本身特點上的一般原則，據以決定作爲科學語言要素的符號的用途。在一定程度上，這些要素是任意的。它們的解釋純粹是常規的∶我們可以在我們願意的任何意義上應用它們。但是這個許可受到兩個必不可少的條件的限制——第一，一旦這個意義常規地建立起來了，我們在推理的同一過程中，決不能背離它；第二，指導過程的法則應該完全建立在所用符號的上述固定意義上。與這些原則一致，在邏輯的符號法則和代數的符號法則之間建立起來的任何一致，都只能得出過程一致的結果。解釋的這兩個領域仍然是分開的和獨立的，每一個領域都服從於它自己的法則和條件。
下面幾頁的實際研究，在它的實用方面，把邏輯展示爲藉助於有確定解釋的符號的幫助而實施的過程體系，並且只服從於建立在該解釋基礎上的法則。但是同時，它們表現出那些在形式上與代數的一般符號相同，只添加了一點，即邏輯符號還得服從於一項特別的法則，就此而論，量的符號無須遵守這條規律。
布爾把邏輯簡化成極爲容易的一類代數。在這種代數中，適當的推理，成了對公式的初等運算。於是，邏輯本身就受數學的支配了。
自從布爾的開創性工作以來，他的偉大發現已經在許多方面被改進和推廣了。今天，在理解數學的本質中，符號或數學的邏輯都是不可缺少的。如果我們只能利用布爾之前的邏輯方法，那麼人類的理智無法對付符號推理所深入到的那些錯綜複雜的困難。布爾的大膽創見是一個里程碑。
自從1899年希爾伯特發表他關於幾何基礎的傑作以來，人們就已經開始關注幾個數學分支的公設的系統闡述。由於希爾伯特的工作，公設法纔得到承認。這個抽象的趨勢曾風行一時，在這一趨勢中，某一特定主題中的運算的符號和規則完全失去了意義，而是從純形式觀點予以討論，從而忽略了應用，而應用正是人類對於任何科學活動的最終追求。然而，抽象的方法確實提供了無可替代的洞察力，特別是由此非常容易看出布爾的邏輯代數的簡便性。
因此，我們將敘述布爾代數（邏輯代數）的公設。下面一組公設是從亨丁頓發表在《美國數學學會報》（1933年）上的一篇文章中摘錄的。
這一組公設用K，+，x表示，其中K是一類不確定的（完全任意的，沒有任何預先指定的意義或超出公設所給出的性質）元素a，b，c，…，而a＋b和a×b是兩個不確定的二元運算+，×的結果。一共有10個公設，
  • Ⅰa：如果a和b在類K中，那麼a+b在類K中。
  • Ⅰb：如果a和b在類K中，那麼ab在類K中。
  • Ⅱa：有一個元素Z，使得對於每一個元素a有a+Z=a。
  • Ⅱb：有一個元素U，使得對於每一個元素a有aU=a。
  • Ⅲa：a+b=b+a。
  • Ⅲb：ab=ba。
  • IVa：a+bc=(a+b)(a+c)。
  • Ⅳb：a(b+c)=ab+ac。
  • V：對於每一個元素a，有一個元素a'，使得a+a'=U，aa'=Z。
  • Ⅵ：在類K中至少有兩個不同的元素。
很容易看出，下面的解釋滿足這些公設∶a，b，c，…是一些類；a＋b是所有那些至少在類a，b之一中的東西構成的類；ab是那些既在類a中又在類b中的東西構成的類；Z是“空類”——沒有元素的類；U是“全類”——包含所討論的一切類中的一切東西的類。那麼公設V說明，對於已知的任何類a，有一個包含所有那些不在a中的東西構成的類a'。注意Ⅵ表示U，Z不是同一個類。
從這樣一組簡單而明顯的陳述中，整個古典邏輯都能通過由（公設生成的）代數用符號建立起來。從這些公設中發展出了可以稱爲“邏輯方程”的理論∶邏輯中的問題被轉換成這樣的方程，然後這些方程用代數的方法“求解”；然後再按照邏輯數據重新解釋這個解，給出原始問題的解答。
關係a<b[讀作a包含在b中]是由以下方程中的任意一個定義的∶a+b=b，ab=a，a'+b=U，ab'=Z。
爲了說明這些是合理的，考慮第二個方程ab=a。這個方程說，如果a包含在b中，那麼既在a中又在b中的一切是a的全體。
從所述的公設中，能夠證明以下關於包含的定理（如果有必要，可以有幾千個更爲複雜的定理）。選出來的例子都符合我們對於“包含”的意義的直觀概念。
  1. a<a。
  2. 如果a<b，b<c，那麼a<c。
  3. 如果a<b，b<a，那麼a=b。
  4. Z<a（其中Z是Ⅱa中的元素————可以證明是滿足Ⅱa的唯一元素）。
  5. a<U（其中U是Ⅱb中的元素——同樣是唯一的）。
  6. a<a+b並且如果a<y，b<y，那麼a+b<y。
  7. ab<a並且如果x<a，x<b，那麼x<ab。
  8. 如果x<a，x<d'，那麼x=Z；並且如果a<y，a'<y，那麼y=U。
  9. 如果a<b'不成立，那麼至少有一個與Z不同的元素x，使得x<a，x<b。
注意到在算術和分析中“<”是“小於”的符號。這種“符號推理”的重要性，在於它可用於與全部數學的基礎有關的微妙問題，要不是這個精確方法一勞永逸地確定了“語詞”或其他“符號”的意義，這種問題也許是常人無從着手的。
幾乎像所有的新奇事物一樣，符號邏輯在發明之後的許多年內沒有受到人們的重視。甚至到了1910年，著名的數學家們還輕蔑地稱它爲沒有數學意義的、哲學上稀奇古怪的東西。羅素在《數學原理》中的工作，首先使一切專業數學家們相信，符號邏輯可能是值得他們注意的。這裏可以提一下符號邏輯的一個堅定反對者——康托爾。理解了“數”，也就理解了數學
布爾於1864年12月8日去世，終年50歲。
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