與圓有關的一類最小值問題（連載2）

例3

如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，P是矩形內一個動點，若∠APB＝90，求DP的最小值．

解：

∵∠APB＝90，

根據“直徑所對的圓周角是直角”以及“90的圓周角所對的弦是直徑”，得

滿足條件的所有點P的集合就是矩形內部以AB爲直徑的半圓（點A，B除外）．

如答圖5，

取半圓的圓心（即AB的中點）E，連接DE，當點P位於DE與半圓的交點時，DP的值最小.

點擊進入《與圓有關的一類最小值問題（連載1）》，瞭解爲什麼這時DP取得最小值

與圓有關的一類最小值問題（連載1）

依勾股定理，DE＝5，

又EP＝EA＝3，

∴DP的最小值爲2．

評析

例3實際上是例1的“升級版”（詳見連載1），難度要大一點，關鍵要把點P的“地位”從運動着的直角頂點轉化爲相應的“半圓上的點”．

例4

2018年蘭州中考數學第16題原題

如圖，M，N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM＝BN．連接AC交BN於點E，連接DE交AM於點F，連接CF，若正方形的邊長爲6，則線段CF的最小值是_________________．

解：如答圖6，

∵AM＝BN，

易證△AMD≌△BNC，

於是有∠1＝∠2．

又AC是正方形的對角線，

易證△CBE≌△CDE，

於是有∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∵∠1＋∠DMF＝90，

∴∠3＋∠DMF＝90．

∴∠DFM＝90．

∵點M，N均爲動點，

∴點F也是動點．

如答圖7，

取AD的中點O，連接CO．以O爲圓心，OD爲半徑在正方形內作半圓，與OC相交於點P，則當點F運動到點P位置時，CF取得最小值．

（理由詳見例3）

偶得

翻開歷史資料，偶然發現:2018年蘭州中考數學第16題居然與2013年武漢中考數學第16題除了邊長數據不同以外，完全一樣!

你認爲往年其他省市的中考題是否值得探究？

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