2020南京中考數學第27題特色講評及拓展

2020年南京中考第27題第2問，你怎樣證明你的解答？

原題

如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個燃氣站，向l同側的A、B兩個城鎮分別鋪設管道輸送燃氣．試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短．

(1)如圖②，作出點A關於l的對稱點A′，線段A′B與直線l的交點C的位置即爲所求，即在點C處建燃氣站，所得路線ACB是最短的．

爲了證明點C的位置即爲所求，不妨在直線l上另外任取一點C′，連接AC′，BC′，證明AC＋CB＜AC′＋BC′．請完成這個證明．

(2)如果在A，B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域，請分別給出下列兩種情形的鋪設管道的方案（不需說明理由）．

①生態保護區是正方形區域，位置如圖③所示；

②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示．

解答

（1）如答圖1，（在圖2中）連接A′C′．

∵點A′與點A關於直線l對稱，

∴CA′＝CA，A′C′＝AC′．

∴CA′＋CB＝CA＋CB，

且A′C′＋C′B＝AC′＋BC′．

依“兩點之間，線段最短”，

A′B＜A′C′＋C′B，

等量代換，得

CA＋CB＜AC′＋BC′．

(2)①如答圖2，設正方形右下方的頂點爲M．

照樣作出點A關於l的對稱點A′，連接A′M，交直線l於點P，連接AP，BM，則點P的位置即爲所求，即在點P處建燃氣站，所得路線APMB最短．

②如答圖3，

還是作出點A關於l的對稱點A′，分別過點A′，B作圓的切線，切點分別爲D，E．A′D交直線l於點Q， 注意到AQ與圓不相交，則點Q的位置即爲所求，即在點Q處建燃氣站，所得路線AQD→弧DE→EB最短．

拓展1

原題不要求考生說明第2問的理由，原因很明顯．但是學生如果要問理由，該如何回答？

如答圖4，若生態保護區爲正方形，可以在正方形外任取一點M′，設M′A′與直線l交於點P′，易證M′B＋M′A′>MB＋MA′(注：延長A′M，與BM′相交)．再在直線l上另一點P″，則M′P″＋A′P″>M′A′．

於是我們證明了路線APMB最短．

拓展2

如果答圖2中的AP穿過正方形內部，答案應該如答圖5，即路線ANPMB最短．

拓展3

在答圖3中，如果用橡皮筋做實驗，很容易“相信”這個答案是正確的，但是怎樣“證明”所給出的路線是最短的？

拓展4

答圖3中，若改變圓形區域的大小與位置，AQ是否有可能穿過圓形區域？如果有可能，答案是否爲答圖6所示？還存在其他的可能性嗎？

文章較長，感謝您一路陪伴.原創文章，疏漏之處在所難免，尚祈不吝賜教！