在倫敦一個下雪天，夏洛克·福爾摩斯躺在牀上，眼睛盯着天花板，他的腦子在快速運轉，試圖破案。沒過多久，華生醫生來敲門了，並向他描述了一起極爲離奇的謀殺案。夏洛克一開始並沒有注意華生說的話。然而，當華生告訴他罪犯逃跑時騎自行車留下的痕跡時，夏洛克突然轉向他說：“現在我們何不去看看那些軌跡呢？”當他們到達現場時，夏洛克的臉上掛着微笑。那是因爲他也不知道軌跡通向哪裏。

夏洛克回到家中竭力地尋找那些奇怪的軌跡。有兩種不同類型的軌道屬於兩種不同類型的輪胎。一個肯定是前胎的，另一個是後臺的。然後他意識到，他需要弄清楚哪一個輪胎的哪一種軌跡，才能辨別出罪犯走的方向。

一輛自行車留下兩種不同的軌道，屬於兩種不同類型的輪胎。一個必須屬於前胎，另一個屬於後臺。夏洛克一回到家，就從他的藏書中挑選了幾本滿是灰塵的舊書。他認爲，他從圖書館中挑選的數學著作可以幫助他深入瞭解這個他認爲與幾何和微積分有關的問題。幾個小時後，他就開始認真研究微分曲線這一課題，這一課題還沒有進入數學文獻，因爲他面前的謎團完全與微分曲線有關。

沒過多久，夏洛克就發現輪胎印表明兩種不同類型的輪胎並不是相互獨立的。根據自行車的設計，前輪和後輪總是以固定的距離相互串聯，並相互配合移動。即便如此，這在實踐中是如何實現的呢？

自行車的輪胎是相互獨立的。由於自行車的設計，前後輪總是以固定的距離相互串聯，並相互配合移動。想到這裏，夏洛克的目光轉到了他的懷錶上，那是他早些時候進屋時從口袋裏拿出放在桌上的。當他朝兩個方向移動手錶上的鏈條時，手錶就會順着鏈條的路徑越走越近，但始終無法到達它所在的位置。

當你向任意方向移動錶鏈時，手錶會沿着錶鏈的路徑不斷靠近錶鏈，但始終無法到達錶鏈所在的位置。在數學中，手錶所遵循的軌跡被稱爲軌跡線。而曲線接近但從未接觸的那條看不見的水平線叫做漸近線。

牛頓在1676年發現了軌跡線公式，夏洛克由此知道了這個結果不是隨機的，而是遵循了一個絕對的規律。

夏洛克所學的微積分知識經常涉及到微分幾何中切線的概念。這就是爲什麼夏洛克從軌跡上隨機選擇一個點，然後畫一條切線到所謂的漸近線。就在那時，他偶然發現了一件令人着迷的事情。他懷錶上的錶鏈的長度和切線的長度是一樣的，這不僅僅是巧合。更重要的是，即使我們畫另一條從軌跡線到漸近線的隨機切線，這也是成立的。

從軌跡頂點到漸近線的距離，以及從軌跡上任意一點到漸近線的任何切線的長度，都是相等的。這種巧合變得明顯起來。這是因爲自行車的行爲就像懷錶和它的鏈條，因爲自行車的輪胎總是朝着同一個方向移動。後輪的運動始終跟隨前輪的運動，並且始終與前輪保持一定的距離。同樣值得注意的是，前輪可以拉，也可以推。

這時夏洛克注意到了一個有趣的細節。牽引車有兩個支路，當自行車在特定的點上移動時，後輪在其中一個支路上行駛，它就會切換到另一個支路上。此外，當他要畫一條從軌跡上的點到漸近線的切線時，他驚喜地發現，這條切線的長度等於兩個輪胎在地面上的接觸點（本質上是軸距）之間的距離。從軌跡上的任意一點到漸近線的任何切線都具有相同的長度。

軸距是前輪和後輪中心之間的水平距離當然，在現實世界中，自行車的輪胎不會以完全垂直和水平的方式移動。騎自行車的人會自然地將前輪向左或向右移動，這樣就會留下不同但獨特的痕跡。

根據夏洛克的觀察，當有人引導前輪胎進行週期性振盪時，後輪胎表現得很好，但振幅較小。因此，無論自行車是否存在，都可以判斷哪一組軌道屬於自行車輪胎，因爲振幅較小的輪胎必須屬於後輪。

振幅較小的輪胎應該屬於後輪就在那時，夏洛克意識到他就快破案了。他現在知道哪一個軌跡是屬於哪個輪胎的了。那麼，自行車往哪個方向走了呢？他怎麼能看出這一點呢？他記得幾個世紀前牛頓的筆記。

從後輪的輪胎軌跡中隨機選擇幾個點，並在一個特定的方向上畫出與前輪相切的切線，所有的切線都必須相同的長度。這就表明自行車沿着切線的方向行駛。然而，如果切線的長度不等，這就意味着自行車的方向與從後輪到前輪的切線相反。

然而，一個意想不到的問題突然出現在他的腦海裏！如果兩個方向的切線長度相等呢？這種事可能嗎？根據牛頓的理論，這是一種數學上的可能性。

如果有人有足夠的技術把自行車轉成一個完美的圓圈，那麼自行車就會在地上留下兩個完美的圓圈。當然，兩個圓中較小的那一個無疑屬於後胎。然而，因爲這個圓是完美對稱的，所以不可能區分自行車是順時針還是逆時針旋轉。

夏洛克臉上掛着微笑。因爲他現在知道了那輛自行車的去向，甚至懶得去辨認兇手的身份了。

總之，如果我們在地面上遇到自行車軌跡，試着辨別自行車行駛的方向會是一種令人耳目一新的腦力鍛鍊。首先，你需要計算出後輪。然後你需要畫出從後輪到前輪的切線，確保它們都在同一個方向上。如果得到的切線長度相等，恭喜你，你已經算出了自行車行駛的方向。

畫切線以確定自行車的方向。當你在現實世界中應用這個方法時，你可能會注意到後輪並不總是精確地跟隨軌跡線。這是因爲自行車並不總是有相同的軸距。自行車有很多種，有些是爲了比賽，有些是爲了休閒。這導致了它們的框架設計的差異。

設計師們通常在放置自行車前叉和車軸時非常小心和精確地考慮到它的角度。設計上最微小的變化都可能導致自行車在轉彎或傾斜時的連續性和軸距的明顯差異。

儘管像這樣簡單的數學模型常常忽略了現實世界的因素和考慮，但它們仍然爲我們提供了更深入地瞭解這些原理是如何工作的。